2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：2.3.2.1双曲线的简单几何性质

2.3.2 双曲线的简单几何性质

第一课时 双曲线的简单几何性质

填一填 1.双曲线的几何性质 标准方程 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2 y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2图形 性质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴 离心率 渐近线 F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，y∈R 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b ce＝∈(1，＋∞) abay＝±x y＝±x abF1(－c,0)，F2(c,0) 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝2.

判一判 x2

y2

1.双曲线－＝1的焦点在y轴上(×)

24

2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔(√) 3．以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条(×) 4．等轴双曲线的离心率为2.(√)

y2x2b

5．方程2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(×)

aba

x2y2

6．离心率e越大，双曲线2－2＝1的渐近线的斜率绝对值越大．(√)

ab

2y

7．双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±3x.(√)

3

8．双曲线x2－16y2＝1的半实轴长为1，半虚轴长为4.(×) 想一想 1.双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？ 不能，每条双曲线对应唯一一组渐近线，但当渐近线确定时，它对应无数条双曲线且焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．

2．离心率对双曲线开口大小有什么影响？

x2y2

以双曲线2－2＝1(a>0，b>0)为例．

aba2＋b2cb2bb

e＝＝＝1＋2，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越aaaaa

大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．

3．双曲线的离心率与渐近线的倾斜角之间存在怎样的关系？

x2y2

不妨设双曲线的方程为2－2＝1(a>0，b>0)，

ab

bbc

一条渐近线l方程：y＝x，其倾斜角为θ，过F2(c,0)作F2M⊥l于M，则|F2M|＝2＝aa＋b2

b，所以OM＝a，

c1

因此e＝＝. acos θ

思考感悟：

练一练

．双曲线x2

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－y2＝1的顶点坐标是( )

A．(4,0)，(0,1) B．(－4,0)，(4,0)

C．(0,1)，(0，－1) D．(－4,0)，(0，－1) 答案：B

2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( x2y2

A.25－9＝1 x2y2y225－9＝1或x2

B.25－9＝1 22C.xy

100－36＝1 D.x2100－y236＝1或y2100－x2

36＝1 答案：B

3．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2 B．22 C．4 D．42 答案：C

4．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( x2y2x2A.25－25＝1 B.9－y2

9＝1 C.y2216－xx2y2

16＝1 D.16－16＝1 答案：D

) )