高二数学第一次月考测试题

高二数学第一次月考测试题

一．选择题（每小题5分，8小题共40分） 1. (1?i)20的值是( )

A ?1024i B 1024i C ?1024 D 1024

2. 已知3?3i?z?(?23i),那么复数z在平面内对应的点位于( )

A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b??平面?，直线a??平面?，直线b∥平面?，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是

因为 （ ）

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

4.由0，1，2，3这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5整除的四位数的个数是（ ） A．24个 B．12个 C．6个 D．4个

5.在?0,2??上，曲线y?cosx与直线y?1所围图形面积S?（ ） A．2? B．5? C．433? D．6?

6.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为 ( )

A.176 B.143 C.136 D.116

7.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A 假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角

Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

8. 如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n个图形中共有( )个顶点。

A?n?1??n?2? B ?n?2??n?3? C n2 D n

二．填空题（每小题5分，6小题共30分） 9.

?2x0e2dx?

10．化简 2A4512?A12A55? 13-A1211. 某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了 5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种。

12.观察下列等式：13?23?32，13?23?33?62，13?23?33?43?102，?， 根据上述规律，第五个等式．．．．．为_____________________________________。 13.已知正三角形内切圆的半径是高的

13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.

14.用数学归纳法证明“5n?2n能被3整除”的第二步中，当n?k?1时，为了使用假设的结论，应将5k?1?2k?1变形为 三．解答题（6题，共80分）

15. 设复数z满足z?1,且(3?4i)?z是纯虚数,求z的共轭复数（12分）

16.计算由直线y?x2?2,y?3x以及x?0,x?2围成图形的面积S（12分）

17. 4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？ (1)教师必须坐在中间； (2)教师不能坐在两端，但要坐在一起； (3)教师不能坐在两端，且不能相邻．（14分）

18. ?ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：1?1?3

a?bb?ca?b?c（14分） 19.某小组共12人，其中男生7人，女生5人，并且男女中各有一名组长，现从中选出5人参加演讲比赛，问：（14分） （1）两名组长都参加的选法有多少种？ （2）至少有一名组长参加的选法有多少种？ （3）至多2名女生参加的选法有多少种？ （4）既要有组长又要有女生参加的选法有多少种？

20.在数列?a1*n?中，a1?3，且Sn=n?2n?1?an (n?N)．（14分） （1）写出此数列的前4项 （2）归纳猜想?an?的通项公式，并加以证明．

高二数学第一次月考测试题答案

1-8 CAABA ABB 49。

e-12 10。 2 11。7 12。13?23?33?43?53?63?212 13。正四面体内切球半径是高的

14 14。5?5k?2k??3?2k 15．设复数z满足z?1,且(3?4i)?z是纯虚数,求z共轭复数。 （12分）

解：设z=x?yi?x,y?R??z?1?x2?y2?1?1???3?4i??z??3?4i??x?yi???3x?4y???4x?3y?i是纯虚数

???3x?4y=0?4x?3y?0?2??4由?1??2???x???x?-4?5或??5?z的共轭复数是4-3i或-4+3???y?35555i5???y?-3516. 计算由直线y?x2?2,y?3x以及x?0,x?2围成图形的面积S （12分） ??y?x2?2?x?1或?y?3xx?2S=?（1x2?2-3x）dx??（2013x?x2?2）dx?13??3

??22?3x3?2x?x2?113?2?0???2x?3x?2x??1?13?2?38312?6?3?4?2+3+2=1

17. 4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？ (1)教师必须坐在中间； (2)教师不能坐在两端，但要坐在一起； (3)教师不能坐在两端，且不能相邻．（14分） 解： (1)．教师先坐中间，有A242种方法； 学生再坐其余位置，有A4种方法．

∴ 共有

A22·A44＝48种坐法．

(2) 将教师看作1人，问题变为5人并坐照相． 先将教师定位：A123A42412；再排学生： A4. ∴ 共有 A2A4A3＝144种坐法.

(3) 插空法：先排学生A44教师从4名学生之间的3个空位选2个进行排列2，A3，

∴ 共有A44A23＝144种坐法．

18. ?ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证：1a?b?1b?c?3a?b?c （14分） 证明：要证原式，只要证

a?b?caa?b??b?cb?c?3,即ca?b?ab?c?1 即只要证bc?c2?a2?ab?ab?b2?ac?bc,

即只要证b2?a2?c2?ac

?A?C?2B,A?B?C?180?,而?B?600,

b2?a2?c2?2accos600?a2?c2?ac成立∴原命题成立

19.某小组共12人，其中男生7人，女生5人，并且男女中各有一名组长，现从中选出5人参加演讲比赛，问： （14分）

（1）两名组长都参加的选法有多少种？ （2）至少有一名组长参加的选法有多少种？

（3）至多2名女生参加的选法有多少种？（4）既要有组长又要有女生参加的选法有多少种？

解：（1）两名组长都参加，则从剩下10人中选3人，不同选法有C310=10?9?83?2?1=120

（2）“至少有一名组长参加”的对立事件“两名组长都不参加”，则从剩下10人中选5人，不同选法有C510?9?8?7?610=5?4?3?2?1=252

从12人中选5人，总的选法有C512?11?10?9?812=5?4?3?2?1=792

∴至少有一名组长参加的选法有C5512-C10=792-252=540

（3）至多2名女生参加分成三类：①没有女生，即5人都是男生，选法有C57=21

②1名女生4名男生，选法有C145C7=175 ③2名女生3名男生，选法有C235C7=350

∴至多2名女生参加的选法有C5+C142375C7+C5C7=21+175+350=546

（4）既要有组长又要有女生参加的选法分成两类：

①女组长参加，再从其余11人中选4人，选法有C411=330

②女组长不参加，男组长参加，则可从其余4名女生中选1人,2人，3人，4人，选法有C132231+C44C6+C4C6+C4C64=80+90+24+1=195 ∴既要有组长又要有女生参加的选法有330+195=525 20. 在数列?an?中，a1?13，且S2n?1?a*n=n?n (n?N)．（14分） （1）写出此数列的前4项 （2）归纳猜想?an?的通项公式，并加以证明． 解：（1）由已知a1?13，Sn?n(2n?1)an， S3=3?5a3S2=2?3a2S2+a3=15a3 n?2， a1+a2=6a2，n?3， 14a?S=6a?6?12215?235

a1112?5a1?3?5?15?a3=115?7=35同理a14?7?9?163， 所以数列的前5项是：

a11111?3，a2?15，a3?35，a4?63，；

（2）由（1）中的分析可以猜想a1n?(2n?1)(2n?1)．

下面用数学归纳法证明：

①当n?1时，猜想显然成立． ②假设当n?k时猜想成立，即a1k?(2k?1)(2k?1)．

那么由已知，得Sk+1=?k+1??2k+1?ak?1，

即Sk?ak+1?(2k2?3k+1)ak?1．

所以k(2k?1)ak?(2k2?3k)ak?1=k(2k+3)ak?1， 即(2k?1)ak?(2k?3)ak?1， 又由归纳假设，得(2k?1)1(2k?1)(2k?1)?(2k?3)ak?1，

所以ak?1?1(2k?1)(2k?3)，

即当n?k?1时，公式也成立． 由①和②知，对一切n?N*，都有a1n?(2n?1)(2n?1)成立