2018年山西省晋中市平遥中学高考数学模拟试卷（理科）（3月份）

②当a＞0时，函数f′（x）＝1+a+alnx单调递增，f′（x）＝1+a+alnx＝0?x＝0．

故当x∈（0，

）时，f′（x）＜0，当x∈（

＞

，+∞）时，f′（x）＞0，所以

，+∞）上单调

函数f（x）在x∈（0，递增；

）上单调递减，函数f（x）在x∈（

③当a＜0时，函数f′（x）＝1+a+alnx．单调递减，f′（x）＝1+a+alnx＝0?x＝＞0． 故当x∈（0，

）时，f′（x）＞0，当x∈（

，+∞）时，f′（x）＜0，所以

，+∞）上单调

函数f（x）在x∈（0，递减．

）上单调递增，函数f（x）在x∈（

（2）由（1）可知若函数f（x）＝x+axlnx存在极大值，则a＜0，﹣1，故此时，f（x）＝x﹣xlnx，

＝1，解得a＝

要证f（x）≤e+x，只须证x﹣xlnx≤e+x，及证e+x﹣x+xlnx≥0即可， 设h（x）＝e+x﹣x+xlnx，x＞0．

h′（x）＝﹣e+2x+lnx，令g（x）＝h′（x）． g

，所以函数h′（x）＝﹣e+2x+lnx单调递增，

﹣x

﹣x﹣x

﹣x2﹣x2﹣x2

2

又

﹣x

，h，

+2x0+lnx0＝0．

故h′（x）＝﹣e+2x+lnx在（，1）上存在唯一零点x0，即﹣

所以当x∈（0，x0），h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，所以函数h（x）在（0，x0）上单调递减，函数h（x）在（x0，+∞）上单调递增， 故h（x）≥所以只须证由即﹣

+2x0+lnx0＝0，得即

， ≥0即可，

＝2x0+lnx0，

所以h（x0）＝（x0+1）（x0+lnx0），又x0+1＞0，所以只要x0+lnx0≥0即可，

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当x0+lnx0＜0时，lnx0＜﹣x0?x0所以

x0+lnx0＜0与﹣

?﹣e+x0＜0

+2x0+lnx0＝0矛盾，

故x0+lnx0≥0，得证． （另证）

当x0+lnx0＜0时，lnx0＜﹣x0?x0所以

x0+lnx0＜0与即﹣

?﹣e

+x0＜0．

+2x0+lnx0＝0矛盾； ?﹣e

+x0＞0．

当x0+lnx0＞0时，lnx0＞﹣x0?x0所以

x0+lnx0＞0与即﹣

+2x0+lnx0＝0矛盾； +x0＝0．

当x0+lnx0＝0时，﹣x0＝lnx0?﹣e得即﹣

+2x0+lnx0＝0，故 x0+lnx0＝0成立，

﹣x

得h（x0）＝（x0+1）（x0+lnx0）＝0，所以h（x）≥0，即f（x）≤e+x．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

（其中φ为参数），

2

曲线．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C1、C2的极坐标方程；

（2）射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1、C2分别交于点A，B（且A，B均异于原点O）当

时，求|OB|﹣|OA|的最小值．

2

2

【分析】（1）直接利用转换关系求出极坐标方程．

（2）利用方程组求出|OB|﹣|OA|的值，进一步利用基本不等式求出结果． 【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为曲线的普通方程为：（x﹣1）+y＝1． C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ 曲线

的极坐标方程为

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2

2

2

2

（其中φ为参数），

．

（2）联立θ＝α（ρ≥0）与c1的极坐标方程得联立θ＝α（ρ≥0）与c2的极坐标方程得|OB|＝则|OB|﹣|OA|＝＝＝

， ，

2

2

2

， ，

，

＝8

2

，（当且仅当

2

时取等号）． ．

所以|OB|﹣|OA|的最小值为8[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+1|．

（1）当a＝1时，求f（x）≤2的解集； （2）若g（x）＝4x+ax﹣3，当a＞﹣1，且a的取值范围．

【分析】（1）通过去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可．

（2）已知条件转化为：所以f（x）≥g（x）可化为a+1≥g（x），求出g（x）的最大值，即可求解实数a的取值范围．

2

时，f（x）≥g（x），求实数

【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝

当x＜﹣时，f（x）≤2无解；

当﹣≤x≤时，f（x）≤2的解为﹣≤x≤时； 当x＞时，f（x）≤2无解；

综上所述，f（x）≤2的解集为{x|﹣≤x≤}；

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（2）当x∈[﹣，]时，f（x）＝（a﹣2x）+（2x+1）＝a+1， 所以f（x）≥g（x）可化为a+1≥g（x），

又g（x）＝4x+ax﹣3的最大值必为g（﹣）、g（）之一，

2

∴

即

即﹣≤a≤2，又a＞﹣1，

所以﹣1＜a≤2，

所以a取值范围为（﹣1，2]．

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