北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学(理)试题 (含答案)

附：样本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的相关系数，

，，．

20．（12分）已知椭圆

，离心率

．

，过点M（1，﹣1）的动直

线l与椭圆C相交于A，B两点．当l⊥x轴时，（1）求椭圆C的方程；

（2）已知N为椭圆C的上顶点，证明kNA+kNB为定值．

21．（12分）已知函数

（1）讨论f（x）的单调性；

．

（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，当a变化时，求f（x1）+f（x2）的最大值．

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（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（10分）在极坐标系中，直线

点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy． （1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；

（2）已知点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值． 23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣1． （1）解不等式f（x）≤x+1； （2）证明：3f（x）≥f（2x）．

，圆C：ρ＝4sinθ．以极点O为原

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参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合M＝{x|x﹣x≥0}，N＝{x|x＜2}，则M∩N＝（ ） A．{x|x≤0}

C．{x|x≤0或1≤x＜2}

B．{x|1≤x＜2} D．{x|0≤x≤1}

2

【分析】先分别求出集合M和N，由此能求出M∩N．

【解答】解：∵集合M＝{x|x﹣x≥0}＝{x|x≤0或x≥1}，N＝{x|x＜2}， ∴M∩N＝{x|x≤0或1≤x＜2}． 故选：C．

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（5分）复数A．

的虚部是（ ）

B．

C．

D．

2

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵∴复数故选：A．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．（5分）?x≥0，使2+x﹣a≤0，则实数a的取值范围是（ ） A．a＞1

xx＝，

的虚部是．

B．a≥1 C．a＜1

xD．a≤1

【分析】?x≥0使2+x﹣a≤0，等价于a≥（2+x）min， 求出2+x在x∈[0，+∞）上的最小值即可．

【解答】解：?x≥0，使2+x﹣a≤0，等价于a≥（2+x）min， 设f（x）＝2+x，x∈[0，+∞），

则函数f（x）在x∈[0，+∞）上是单调增函数， 所以f（x）≥f（0）＝1， 所以a的取值范围是a≥1．

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xxxx故选：B．

【点评】本题考查了存在量词与特称命题的应用问题，是基础题． 4．（5分）设向量，满足+＝（3，1），?＝1，则|﹣|＝（ ） A．2

B．

＝＝

＝

C．2

D．

【分析】配方变形得|﹣|＝【解答】解：|﹣|＝故选：B．

，再代入已知可得． ＝

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题，

5．（5分）设{an}为等差数列，a1＝22，Sn为其前n项和，若S10＝S13，则公差d＝（ ） A．﹣2

B．﹣1

C．1

D．2

【分析】根据等差数列的求和公式即可求出． 【解答】解：∵S10＝S13，a1＝22， ∴10×22+解得d＝﹣2， 故选：A．

【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题． 6．（5分）在A．

的二项展开式中，x的系数为（ ） B．

C．

D．

2

×d＝13×22+d，

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，

x的系数，即得答案．

【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝（﹣1）2令3﹣r＝2得r＝1

所以项展开式中，x的系数为﹣故选：C．

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）

2

2

r2r﹣6

C6xr3﹣r

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