中考数学总复习第二编中档题型突破专项训练篇中档题型训练五圆的有关计算、证明与探究试题

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解：(1)∵⊙O切BC于点D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；(2)设EO与AD交于点M，连接ED.∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由(1)知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱

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60π×22π形，则△AEM≌△DOM，∠EOD＝60°，∴S△AEM＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝. 3603

4．(2016白银中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，⊙O经过A，B，D三点．

(1)求证：AB是⊙O的直径；

(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；

(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．

解：(1)连接AD，∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径；

(2)DE与⊙O相切．证明：连接OD，∵AO＝BO，BD＝DC，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；

(3)∵AO＝3，∴AB＝6.又∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD＝33.∵AC·DE＝CD·AD，

33

∴6·DE＝3×33，∴DE＝.

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圆与相似及三角函数的综合

【例3】(2015资阳中考)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，连接AD.

(1)求证：△CDE∽△CAD；

(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的长．

【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算．

【学生解答】解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.又∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD.∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDE.

222222

又∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD；(2)在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，∴OA＋AC＝OC，即1＋(22)＝OC，∴OC＝

CDCA222

3，∴CD＝2.又由△CDE∽△CAD，得＝，即＝，∴CE＝2.∴AE＝AC－CE＝22－2＝2.

CECDCE2

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5．(2016凉山中考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC的中点，AE⊥AC于点A，与⊙O及CB的延

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长线交于点F，E，且BF＝AD.

(1)求证：△ADC∽△EBA；

(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．

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解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE.∵BF＝AD，∴∠DCA＝∠BAE.∴△ADC∽△EBA；

︵ACDCAC·AB64

(2)∵A是BDC的中点，∴AB＝AC＝8.∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，∴＝，∴AE＝＝，∴tan∠

AEABDC5

AC85

CAD＝tan∠AEC＝＝＝.

AE648

5

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