2015-2016学年高等数学A期中测验试卷答案

班级： 学号： 姓名： 装 订 线 杭州师范大学2015-2016学年第一学期中期测验

《高等数学A1》试卷

题号 得分 一 二 三 四 五 得分 总分 一、单项选择题：（填上正确选择前面的字母，共18分，每小题3分）

11．点x?0是函数f(x)?1的（ B ）。

xe?1A. 可去间断点 B.跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点

lim2．设　x?0?f(x)?f(0)?sin3x?4，则f?(0)?( D )。

x24 3A．3 B. 4 C. 0 D.

23．对函数f(x)?x?2x?3在区间?。 1,3?上用拉格朗日中值定理得到的?=（ A ） A．2 B．1.5 C．2.5 D．4 4.设在[0，1]上，f??(x)?0，则下列不等式成立的是（ A ）。

Ａ.f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) B.f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0)； C. f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) D.f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)。 5. 设函数y?f?x?在?a,b?上有定义, 在(a,b)内可导，则 ( D )。 A．f(a)?f(b)?0时,存在??(a,b),使f(?)?0 B．存在??(a,b),使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) C．f(a)?f(b)时,存在??(a,b),使f'(?)?0 D．对任意??(a,b),有lim[f(x)?f(?)]?0

x??6. 若f?(x0)?3，则limx?0f(x0)?f(x0?2x)?( B )。

xA．3 B．6 C．9 D．12

《高等数学A1》试题（第 1页，共4页）

二、填空题（共18分，每小题3分） 7．lim得分 x?cosx? 1 。

x??x?sinx?1

8．若直线y?ax与y?lnx相切，则a? e 。 n9．设f(x)?esinx?x?1，当x→0时，f(x)与x的为同阶无穷小，则n= 3 。 10．设y?ln(x?x2?1),则dy= 1x?12dx 。

11．设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n)，则f?(0)? n! 。 12．函数f(x)?ln(1?x2)的拐点为 (-1,ln2)和(1,ln2) 。 三、解答题：（共36分，每小题6分）

1113．求极限lim(?x)。

x?0sinxe?1ex?1?sinx11ex?1?sinx解：lim( ?x)?lim?lim2x?0sinxex?1x?0sinxx?0xe?1??得分 ex?sinx1ex?cosx?lim?lim? （6分）

x?0x?0222x14．设方程lny?xy?cosx确定函数y?f(x)，求dy,解：lny?xy?cosx，y两边对x求导，

y??dy?x?0dydxx?0。

?e

y??y?xy??sinx，y??y2?xyy??ysinx yy(y?sinx)， （4分）

1?xyy(y?sinx)dx， y?1?xy2?2xx?0?e2 （6分）

15．设y?xe解：y(50)，求y(50)。

?x2(e?2x)(50)?50?2x(e?2x)(49)?50?49?2(e?2x)(48) 2?250(x2?50x?

1225?2x)e． （6分） 2《高等数学A1》试题（第 2页，共4页）

?x?2t?t2d2y16．已知由参数方程?所得函数y?f(x)，求。 23dxy?3t?t?dydydt3?3t23解：???(1?t), （3分）

dxdx2?2t2dtddy3()dydtdx2?3. （6分） ??dxdx22?2t4?4tdt217．求极限lim?x?01?cosx 。x(1?cosx)x22解：lim?x?01?cosx1?cosx1=lim?lim?. （6分） 22x(1?cosx)x?0?xx(1?cosx)x?0?x(1?cosx)22

1??ex?1,x?018．设f(x)??,求f(x)在(?1,??)内的间断点，以及间断点的类型。 ??ln(1?x),?1?x?01x?1f(x)?lim?ln(1?x)?0，limf(x)?lime解：lim???x?0x?0x?0x?0?e?1，故x?0是第一类间断点，

且为跳跃间断点； （3分）

lime?x?11x?1???，x?1是第二类间断点．

（6分）

四、综合题（共16分，每小题8分）

得分 1??xsin,x?0?19．设f(x)?? (?>0)，讨论f(x)在x?0处的连续性与可导性。 x?ex??,x?0?解：

?limxsin+x?01x?0,lime???1??,当1??=0时，f(x)在x?0处连续，且?x?0xf(0)=0. （3分）

《高等数学A1》试题（第 3页，共4页）

ex?1'f(0)?lim?1,f(0)?lim?x?0?x?0?x'?x?sin1x?limx??1sin1,当?-1?0时，x?0?xxf?'(0)=0?f?'(0)，当?-1?0时，f?'(0)不存在，所以f'(0)不存在。 （5分）

20．设函数f(x)可导, f(0)?0. 令F(x)?f(x)(1?|sinx|), 求F?(0)。 解：F'(0)?limx?0F(x)?F(0)f(x)(1?|sinx|)f(x)?lim?lim?f'(0). x?0x?0xxx （8分）

五、证明题：（共12分，每小题6分） 21．证明不等式：证明：令

得分 x?ln(1?x)?x1?x(x?0)。

f(x?)ln?(则x1f),? 根据拉格朗日中值定理，

f(x?)f由于

1(?0)x其中?,??x0.1+? （4分）

x11?ln(1?x)?x. （2分） ??1，所以

1?x1+x1??3?(1)?0是f(x)在x?122．设函数f(x)?|x?1|?(x)，其中?(x)在x?1处连续，证明：

处可导的充分必要条件。

f(x)?f(1)(x3?1)?(x)?lim?3?(1). （2分） 证明：f(1)?lim?x?1?x?1x?1x?1'?f(x)?f(1)(1?x3)?(x)?lim??3?(1). （2分） f-(1)?limx?1-x?1?x?1x?1'f(x)在x?1处可导当且仅当f?'(1)=f-'(1)，从而?(1)?0。 （2分）

《高等数学A1》试题（第 4页，共4页）