欧氏几何的公理体系和我国平面

证明将△A BC不改变形状和大小移动到另一个位置，得到与之全等的△A'B'C'，故?B??B?。另一方面，因为AB?AC?A?C??A??A?，AC?AB?A?B?，由三角形全等的判定定理边角边知?ABC??A?C?B?。所以?C??B?。故?B??C,(等于同量的量彼此相等)。

三角形全等的判定“边边边”在《几何原本》和《几何基础》中都是定理，我们可以用拼合法及等腰三角形的性质证明，下述证法与原书略有不同。

己知：△A BC与△A'B'C'中，A B=A'B'，BC=B' C'，AC=A'C'。 求证：△A BC?二△A'B'C'。

证明：将B' C'与BC叠合，且使A?与A通位于BC的异侧，连接胡AA?，因为AB= A'B',所以

?1??1?。因为AC= A'C',所以?2??2?,?1??2??1???2?，即?BAC??BAC?，由“边角边”

得△ABC?△A'B'C'。（当然更详细地还需考虑AA?相交线段BC于某个端点或与BC不相交的情况） 在《几何原本》和《几何基础》中，“同位角相等，两直线平行”都是定理，证明方法也十分类似。平行公理只告诉我们过直线外一点至多有一条直线与己知直线不相交，并没有说这样的直线是不是真的有。我们把不相交的两条直线称为平行线，那么“同位角相等，两直线平行”保证了这样的直线一定有。如果把这件事情当作基本事实承认下来，就得到下面对平行公理的表述： 过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行。

这是在平面几何课本中流行的表述。下述三角形外角定理对平行线存在性的证明至关重要：三角形的外角大于任一不相邻的内角（见《几何原本》第一卷命题16,《几何基础》第一章第6节定理22）。

己知；?ABC，求证；?C的外角?ACE＞?A。

证明：取A C中点D，连BD并延长到F，使FD=BD，则点F位于?ACE内。连CF，由于

?ADB?CDF,AD?CD，有△A BD?△CFD（边角边），这时?A??1＜?ACE（全体大于部

分）。

以上是欧几里得的证法，将射线CF位于?ACE内部当作直观的事实。希尔伯特也把这一定理作为平行线存在性的准备，他的证明运用了反证法，避开了射线CF是否位于?ACE内部的问题。

己知，求证同上。

证明：如果结论不成立，则有?2??1。。若等号成立，延长BC到E，使CE= AB。再由

?1??2，BC??CEA（边角边）,AC?CA l，有?A。这时?4??3 (全等三角形的对应角相等)。故?1??3??2??4，即?BAE??BCE?平角。过B, E两点可以引两条不重合的直线BAE和

BCE,与两点确定一直线矛盾。 如果?2 < ?1，则以A C为一边，在?1内部作?1???2，使?1?的另一边交线段BC于C?C}，利用△ABC?可同上推出矛盾。

定义；同一平面内不相交的两条直线叫平行线。

判定定理；同位角相等，两直线平行(《几何原本》第一卷命题27, 28,《几何基础》第一章第7节定理30)。

己知；直线A B, CD与直线L分别相交于M，N两点，同位角?1??2。 求证；AB‖CD 。

证明：如果A B, CD相交于P，则根据三角形的外角定理，在?PMN中，外角?1＞?2,与己知矛盾，故AB, CD不相交，A B‖ CD。

性质定理；两直线平行，同位角相等。(《几何原本》第一卷命题29,《几何基础》第一章第7节定理30)。

己知；直线A B‖ CD，直线L分别交AB, CD于点M和点N。 求证；同位角?1??2。

证明：若?1??2，过点M作直线A?B?与L交成?1?，使?1???2，则A?B?与AB不重合且A?B?‖ CD。过M点有两条直线AB和A?B?平行于CD，与平行公理矛盾。

4、结束语

我国近百年来数学教育的一个突出特点是对双基的重视，也就是说，学生们对基础知识的把握比较准确，深入，对基本技能的运用比较熟练。

我听过不少数学家和科技工作者谈起他们当年学习平面几何的体会，认为平面几何的学习对于他们逻辑思维习惯的养成起了至关重要的作用。记得我六十年代读初中时，不少同学喜欢做平面几何题，有时还比着做，觉得挺好玩。那时学生们每天下午有一节或两节自习课，做完功课后没什么可干的，就做点儿题。四点钟放学在操场上玩到吃晚饭，晚饭后看看课外书什么的。那时候的数学课外书不多，更没有习题集。有一套数学家为中学生写的小册子给那一代喜欢数学的中学生留下了深刻的印象，现在这套丛书在大陆和台湾分别再版了。其中有华罗庚的《从杨辉三角谈起》，《从祖冲之的圆周率谈起》，段学复的《对称》，吴文俊的《力学在几何中的一些应用》，姜伯驹的《一笔画和邮递路线问题》，龚昇的《从刘徽割圆谈起》，史济怀的《平均》，再版时补充了冯克勤的《费马猜想》等等。

老师也很少给我们出难题，作业只留书上的习题，书上打星号的题作为思考，不记分数。只有个别时候在黑板的角落里写几道更难一点的思考题，做不做两可。老师倒是十分在意我们的基本概念是不是清楚。比如有时上课铃一响，老师第一句话就说拿出一张纸来，写出三角形全等的判定定理“边边边”及其证明。十分钟后收上去，接着讲新的内容。谁要是不明白，可以在自习课时去找老师补课。

随着科学技术的飞速发展，数学在经济建设中发挥着越来越重要的作用。作为数学大厦基础的初等数学，作为初等数学重要组成部分的平面几何学，亦应得到更好的重视。这并不意味着平面几何的课时越多越好，知识点越多越好，而是说要把平面几何的公理体系简明扼要地讲精、讲透。按照项武义教授的话说，就是返璞归真，抓住平面几何的本质把它的逻辑体系说透。使学生们感受到欧氏几何内在的逻辑美，感受到推理证明的巨大力量。

现在很多老师都在积极地钻研数学课程的内容和讲授方法。这是一个可喜的现象。我相信在我们的中学老师、数学工作者和数学教育工作者的共同努力下，一定能够发扬光大我国中小学数学教育的优良传统，把平面几何课本写得更好，为把我国的下一代培养成有数学素养的劳动者，当然也包括有数学素养的科技人才做出应有的贡献。

致谢

北京大学张顺燕教授对本文的初稿提出了中肯的批评和建议。北京师范大学王申怀教授逐字审阅了全文，就历史事实为文章写了两段关键性的附注；傅种孙先生的贡献和1963年数学教学大纲，现己并入正文。在此向二位先生表示由衷的谢意。

参考文献

l、欧几里得。几何原本。兰纪正，朱恩宽译。西安；陕西科学技术出版社，1990 2、希尔伯特。几何基础。江泽涵，朱鼎勋译。北京；科学出版社， 1987 3、魏庚人主编。中国中学数学教育史。北京；人民教育出版社 1987 4、傅种孙文集。北京；北京师范大学出版社，2005 5、项武义。基础几何学。北京；人民教育出版社，2004