柯西留数定理及其应用

n1f(?)d???a(zk)Resf(zk). 2?i??k?1上述推广的留数定理,相较于原有的只是将条件稍加放宽了,在计算一些复杂的积分时,可以发挥很好的效果,对此,还要结合一下定理,这样会使计算更加便捷.

定理1?8? 假设:

（1）D为一区域,C??D是一条或有限条简单闭曲线;?an?为D内一孤立点列,liman?a0?D;f(z)在D内除去an(n?0,1,2,?)外解析,在D?D?C上除去

an??an(n?0,1,2,?)外为连续;

（2）级数?Res(f,an)收敛;

n?1?则

C?f(z)dz?2?i?Res(f,a)

nn?0?由上述定理,易证:

定理2?8? 设?an?为复平面上一孤立奇点列,liman?a0;f(z)在扩充复平面上

n??除去?,a0,a1,?外为解析.若级数?Res(f,an)收敛,

n?1?则

?Res(f,a),(ann?0?nn?0?0??)

?Res(f,a)?Res(f,?)?0

在应用中特别重要的是下面介绍的两个定理:

定理3?8? 在定理1的条件下，若f(z)在D内某一收缩于a0的正常曲线族?Cn?上满足maxf(z)?o(z?Cn1),其中dn的意义如前,则: dnRes(f,a0)?0

13

C?f(z)dz?2?i?Res(f,a)

nn?1?定理4?8? 在定理1中条件（1）的假定下,若存在收缩于a0的正常曲线族?Cn?使

Cn与Cn?1围成的区域内仅含有点列?an?的一点an,并且在Cn上f(z)满足条件

?1maxf(z)?o(),则有级数?Res(f,an)收敛. z?Cndnn?1上述的每个定理是对区域内仅有一个极限点的点列的情形来表述的.但是,我们很容易把这些结果推广到有若干个极限点的孤立点列的情形.

1例1 函数g(x)?x2kctgx（k为正整数）在以(n?)(1?i)?为顶点的正方形曲

211线族?Cn?上满足maxg(x)?o(),Res(g,n?)? (n??1,?2,?),利用ctgx2kx?Cndn(n?)22kB2k的Laurent展式可得Res(g,0)?(?1),式中Bn为Bernoulli数.由定理2及

(2k)!k2k?1B2k2k1k?12?(k?1,2,?). 定理3,即得?2k?(?1)n(2k)!n?1?把定理2和定理3顺次应用于函数x?2kcscx与x?2k?1secx（k为正整数）, 则有

2k?1?1)B2k1k(2(?1)?(?1)? (k?1,2,?), ?2kn(2k)!n?1?n?(?1)n?1n?1?E2k?1k?(?1)() (k?1,2,?), 2k?1(2n?1)2(2k)!2其中En为Euler数.

14

结束语

本文主要介绍了柯西留数定理的应用,当一些广义积分无法运用正常的求解方式解答时,柯西留数定理就是一个有效便捷的途径.值得一提的是,柯西留数定理在级数求和中的应用,使得级数求和又有了一个简便的方法.在一些广义积分中,有些问题给出的数学对象所具有的求解因素并不明显外露,我们可以借助一定的方法构造辅助线,从而为问题的解法寻找简捷的途径.通常情况下,在利用柯西留数定理计算实积分时,一般总是针对那些原函数不易求出的;在计算级数求和中,先求出极点,进而利用相关的公式和定理去求解;而在其它学科中的应用,同样要结合数学中的相关知识将其转化并解答.利用柯西留数定理可以巧妙灵活地解答一些特殊实积分问题,使解题更为方便简洁.总之,应用柯西留数定理时,要结合其它的一些方法,如导数、极限、不等式及定积分等,其应用之广,技巧性之灵活,需要我们好好理解掌握.

参考文献：

[1]王信松,张节松.复变函数[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2011. [2]钟玉泉.复变函数论[M].第三版.北京:高等教育出版社,2004. [3]陆生琪.留数理论及其应用[J].三江学院,2009,(33):947-949.

[4]邓志颖,潘建辉.留数定理在积分计算和级数求和中的应用[J].专家论坛,2011,8:437- 438.

[5]林金火.留数定理在广义积分中的应用[J].九江职业技术学院学报,2007,1:84-85. [6]林金楠.基于留数定理的一种级数求和方法[J].高等数学研究,2009,12,(4):110-113. [7]路见可.推广的留数定理及其应用[J].武汉大学学报(自然科学版),1978,10,1:1-6. [8]李鸿振.留数定理的推广及应用[J].河北大学学报,1988,(4):7-10.

15

致 谢

时光荏苒,大学四年的生活即将结束,完成论文成了最后一题“作业”,为了检

验自己四年所学,为了给大学生活划上一个完美句号,为了一个新的开始,我积极、认真地完成论文.本文的完成离不开数学科学学院张杰老师的热情指导,同时数学科学学院机房的硬件设施和学校图书管电子资源,为课题的研究工作提供了良好的条件,另外,本课题的部分工作还得益于同窗挚友的共同研讨,在此,对他们一并表示感谢.

16