柯西留数定理及其应用

引言

柯西留数定理是《复变函数论》中留数理论中的一个重要定理,利用柯西留数定理在围线积分中的应用计算,探求柯西留数定理在一些特殊实积分,如反常积分、广义积分等中的应用,可以起到事半功倍的作用,它是研究计算定积分,尤其是对原函数不易直接求得的实积分和反常积分,常是一个有效的方法,其要点是将其划归为复变函数的周线积分,再把计算周线积分的整体问题,化为计算各孤立奇点处留数的局部问题,继而就可得到解决.柯西留数定理是复变函数论中留数理论的重点和难点,如何在教学中突出重点,化难为易,是教学研究的重要内容之一.

一、柯西留数定理的理论基础

在复分析中,通过对函数的罗朗级数负幂项的系数与函数曲线积分的关系研究,得出函数在孤立奇点的留数概念,因此产生了留数理论,而利用留数理论来计算围线积分,特别是计算复杂的实积分,提供了一种工具,而作为留数理论中的一个最基本、最重要的定理——柯西留数定理,是柯西积分定理和柯西积分公式的推广而来的,是计算解析函数沿闭曲线路径积分的一个有力工具.下面先介绍留数理论中的基本概念——留数.

（一）留数的定义

定义1?1? 设a(a??)是函数f(z)的孤立奇点,若函数f(z)在0?z?a?R内解析,则称积分

1f(z)dz为f(z)在孤立奇点a的留数,记作Res(f,a),其中c为圆?c2?i周z?a??(0???R).

注 （1）由上述定义可以看出,Res(f,a)只有当点a是函数f(z)的孤立奇点时才有意义.

（2）留数Res(f,a)与圆c的半径?无关.由c?1?1f(z)dz?Res(f,a),可以?c2?i 1

得到Res(f,a)等于f(z)在点a的罗朗展式中

1这一项的系数. z?a（3）若a为f(z)的可去奇点,则Res(f,a)?0. 在此,要介绍另一个概念——对数留数. 定义2

?1?1f'(z) 称积分dz为函数f(z)的对数留数,其中c为一条围

2?i?cf(z)线,f(z)在c上解析且不为零,f(z)在c的内部为亚纯函数.

f'(z)d(lnf(z))由于,所以称上面的积分为对数留数.显然,函数f(z)的零?f(z)dzf'(z)点和极点都可能是的奇点.

f(z)这个定义将在柯西留数定理的应用——辐角原理中起到很大的作用.下文中会具体介绍.

（二）留数的计算

对于留数的计算,有以下几种方法：

1、直接使用定义,通过计算函数的曲线积分而直接得到函数在某一点的留数,该方法主要有理论上的价值,实际计算中一般不用.

2、利用Res(f,a)?c?1,把函数f(z)在点a展成罗朗级数,其中的系数c?1即为函数f(z)在点a的留数Res(f,a).

1?e2z例1 设函数f(z)?,求Res(f,0)和Res(f,?).

z4解 由于

114124??2nzn?4(0?z???), f(z)??23?22????zz3z4!n?5n!所以

4Res(f,0)??.

3又z?0是唯一有限奇点, 故

2

Resf(z)??Resf(z)?z??z?04. 3 3、设b是f(z)的一级极点,则 . 例2 设函数f(z)? 解 由于

lim(z?1)z?16z?1,求Res(f,1).

z(z?1)6z?1?5?0,

z(z?1)且

6z?1在点1的某个去心邻域中解析,从而z?1是f(z)的一级极点,

z(z?1)所以

Res(f,1)?lim(z?1)z?16z?1?5.

z(z?1)4、设a是g(z)??(z)的一级极点,?(z)、?(z)均在a解析,且 ?(z)?(a)?0,?'(a)?0,?(a)?0,则Res(g,a)? 例3 设函数h(z)??(a). ?'(a)5z?2,求Res(h,0).

z(z?1) 解 易知z?0是函数h(z)的一级极点, 令

?(z)?5z?2,?(z)?z(z?1),

可得

?(0)??2?0,?'(0)??1?0,?(0)?0

所以

Res(h,0)??(0)?2??2. ?'(0)?11dm?1limm?1[(z?a)mf(z)]. 5、设a是f(z)的一个m级极点，则Res(f,a)?(m?1)!z?adz 例4 设函数f(z)?sinz,求Res(f,0). z3 3

解 易知z?0是函数f(z)的3级极点, 所以

1d231d2Res(f,0)?lim2(zf(z))?lim2sinz?0.

2!z?0dz2z?0dz通过以上的几种留数求法可以看出,在以后遇到的具体问题中要具体对待,更要学会灵活运用.

二、柯西留数定理的概念及证明

柯西留数定理?1? 设D是复平面上的一个有界区域,其边界是一条或有限条简单闭曲线C.设f(z)在D内除去有限个孤立奇点z1,z2,?,zn外,在每一点都解析,并且它在D?D?C上除z1,z2,?,zn外连续,则?Cf(z)dz?2?i?Res(f,zk).

k?1n证 以D内每一个孤立奇点zk为心,作圆周?k,使以它为边界的闭圆盘含在D内,并且任意两个这样的闭圆盘彼此不相交.从D中除去以这些?k为边界的闭圆盘得到一个区域G,其边界是C以及?k（k?1,2,?,n）.f(z)在G内解析,f(z)在G上连续.因此由文献[1]中的柯西积分定理推广到复围线的情形,我们有

??

Cf(z)dz????k?1nnk,z而??kf(z)dz?2?iRes(f,zk)(k?1,2,?,n),所以 f(z)dCf(z)dz?2?i?Res(f,zk).

k?1三、柯西留数定理的应用

（一）辐角原理

在介绍该原理之前,先看下面的两个引理.由留数的相关概念,易得：

f'(z)引理1 （1）设a为f(z)的n级零点,则a必为的一级极点,并且

f(z)?1? 4