柯西留数定理及其应用

淮北师范大学

2013届学士学位论文

柯西留数定理及其应用

学院、专业 数学科学学院、数学与应用数学 研 究 方 向 函数论 学 生 姓 名 刘 军 学 号 20091101089 指导教师姓名 张 杰 指导教师职称 副教授

2013年 4月 15日

柯西留数定理及其应用

刘 军

(淮北师范大学数学科学学院,淮北,235000)

摘 要

本文首先通过介绍柯西留数定理的重要性、定义及证明过程,然后进一步研究柯西留数定理在一些广义积分中的应用.此后,通过一些实例结合自己的学习体会做出应用柯西留数定理在一些复杂定积分中的巧妙运算,目的是使我们在掌握定积分基本运算方法之后,熟悉一些复杂定积分,如反常积分、广义定积分的一些特性及巧妙运算方法,增强解题能力.接着研究柯西留数定理在级数求和中的应用,最后研究柯西留数定理在其他方面的应用.

关键词 留数定理,广义积分,定积分,级数求和

Cauchy residue theorem and its applications

Liu Jun

(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, huaibei, 235000)

Abstract

This article firstly introduce the importance of the cauchy residue theorem basis, definition and the process of proof, and then studies the applications of the cauchy residue theorem in some generalized integrations. Since then, throughing some examples combined with own learning experience to make the application of the cauchy residue theorem in complex skillful operation of definite integration, the purpose is to make familiar with some complex definite integration after we master the basic operation method of definite integration, such as improper integration, some of the generalized integration and clever operation methods, strengthen the solving ability of some problems. Then study the applications of the cauchy residue theorem in series summation, and the cauchy residue theorem in other applications finally.

Keywords：residue theorem，the generalized integration，definite integration，series summation

目 录

引言????????????????????????????????1 一、柯西留数定理的理论基础?????????????????????1 二、柯西留数定理的概念及其证明???????????????????4 三、柯西留数定理的应用???????????????????????4 （一）辐角原理??????????????????????????4 （二）在广义积分中的应用?????????????????????7 （三）在级数求和中的应用?????????????????????11 （四）柯西留数定理的推广应用???????????????????12 结束语???????????????????????????????15 参考文献??????????????????????????????15 致谢????????????????????????????????16