(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式专题突破一高考中的不等式问题讲义(含解析)

??x－y－1≤0，

7．(2018·浙江舟山中学月考)已知x，y满足约束条件?

?2x－y－3≥0，?

2

2

当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a＋b的最小值为( ) A．5B．4C.5D．2 答案 B

解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线

x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点A(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝25.因为a2＋b2

表示原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，所以a＋b的最小值为原点到直线2a＋b－25＝|－25|2222

0的距离，即(a＋b)min＝＝2，所以a＋b的最小值是4，故选B. 22

2＋1

2

2

y≤1，??

8．(2018·嘉兴教学测试)若直线ax＋by＝1与不等式组?2x－y－1≤0，

??2x＋y＋1≥0

域无公共点，则2a＋3b的取值范围是( ) A．(－7,1) C．(－7,3) 答案 C

B．(－3,5) D．R

表示的平面区

y≤1，??

解析 不等式组?2x－y－1≤0，

??2x＋y＋1≥0

表示的平面区域是以A(1,1)，B(－1,1)，C(0，－1)为

顶点的三角形区域(包含边界)；

9

y≤1，??

因为直线ax＋by＝1与不等式组?2x－y－1≤0，

??2x＋y＋1≥0a＋b－1>0，??

满足?－a＋b－1>0，

??－b－1>0a＋b－1<0，??

或?－a＋b－1<0，??－b－1<0，

表示的平面区域无公共点，所以a，b

故点(a，b)在如图所示的三角形区域(除边界且除原点)内，所以2a＋3b的取值范围为(－7,3)，故选C.

9．(2019·诸暨期末)不等式－x＋2x＋3<0的解集为________；不等式|3－2x|<1的解集为________．

答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) (1,2)

解析 依题意，不等式－x＋2x＋3<0，即x－2x－3>0，解得x<－1或x>3，因此不等式－

2

2

2

x2＋2x＋3<0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)；由|3－2x|<1得－1<3－2x<1,1

不等式|3－2x|<1的解集是(1,2)．

12

10．(2018·宁波期末)关于实数x的不等式x－4x>＋3在[0,5]上有解，则实数a的取值范

a围为______________．

?1?答案 (－∞，0)∪?，＋∞? ?2?

111222

解析 由x－4x>＋3得x－4x－3>，则问题等价于小于x－4x－3在[0,5]上的最大值，

aaa1222

又因为x－4x－3＝(x－2)－7，所以当x＝5时，x－4x－3取得最大值2，所以<2，解得

a??a<0或a>，所以a的取值范围为(－∞，0)∪?，＋∞?.

?

11．(2018·嘉兴测试)已知f(x)＝x－2，g(x)＝2x－5，则不等式|f(x)|＋|g(x)|≤2的解集

10

1

2

1?2

为______________；|f(2x)|＋|g(x)|的最小值为________．

?5?答案 ?，3? 3 ?3?

?5?－x＋3，2≤x≤，

2解析 由题意得|f(x)|＋|g(x)|＝|x－2|＋|2x－5|＝?

5

3x－7，x>，??2

7－3x，x<2，

??7－3x≤2，

所以|f(x)|＋|g(x)|≤2等价于?

?x<2?

－x＋3≤2，??

或?5

2≤x≤?2?

3x－7≤2，??

或?5

x>，??2

5

解得≤x≤3，

3

|f(2x)|＋|g(x)|＝|2x－2|＋|2x－5|

?5?3，1≤x≤，2＝?

5

4x－7，x>，??2

7－4x，x<1，

|f(2x)|＋|g(x)|的图象如图，则由图象易得|f(2x)|＋|g(x)|的最小值为3.

121212．(2018·浙江镇海中学模拟)已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最大值是

xyx＋1y＋1________． 3

答案 4

11u2v解析 设u＝，v＝，则问题转化为“已知正数u，v满足u＋2v＝1，求＋的最大

xyu＋1v＋1值”．

2v?1＋2?

＋＝3－??u＋1v＋1?u＋1v＋1?

11

u＝3－?

?1＋2?·1[(u＋1)＋2(v＋1)]

?

?u＋1v＋1?4

1?2?v＋1?2?u＋1??13

＋＝3－?5＋≤3－(5＋4)＝. ?u＋1v＋1?4?442?v＋1?2?u＋1?1

当且仅当＝，即u＝v＝时，取等号．

u＋1v＋13

13．(2018·浙江金华十校联考)已知实数x，y，z满足?为________． 答案 911－32 解析 将?

?xy＋2z＝1，?

2

2

2

??xy＋2z＝1，

2

2

2

??x＋y＋z＝5，

则xyz的最小值

??x＋y＋z＝5

2

变形为?

?xy＝1－2z，?

2

2

2

??x＋y＝5－z，

2

由|xy|≤

x2＋y2

2

2

5－z知，|1－2z|≤，

2

5－z5－z即－≤1－2z≤，解得2－7≤z≤11－2.

22

所以xyz＝(1－2z)z＝－2z＋z在[2－7，11－2]上的最小值为911－32.

14．(2018·宁波模拟)若6x＋4y＋6xy＝1，x，y∈R，则x－y的最大值为________． 1答案 5

解析 方法一 设m＝x＋y，n＝x－y，则问题转化为“已知4m＋mn＋n＝1，求mn的最大值”．

1122

由基本不等式，知1＝mn＋4m＋n≥mn＋4|mn|，所以－≤mn≤，当且仅当n＝2m，即x＝

351

－3y时，取得最大值.

5

方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x≠0.

2

2

2

2

2

2

2

x2－y2

令z＝x－y＝2 26x＋4y＋6xy2

2

?y?2

y??

＝，设t＝，

xy?y?2

6＋4·??＋6·

x?x?

1－??x1－t2

则z＝，则(4z＋1)t＋6zt＋6z－1＝0对t∈R有解． 2

6＋4t＋6t2

12