（浙江专用）2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式专题突破一高考中的不等式问题讲义（含解析）

高考专题突破一 高考中的不等式问题

题型一 含参数不等式的解法

例1解关于x的不等式x＋ax＋1>0(a∈R)． 解 对于方程x＋ax＋1＝0，Δ＝a－4.

－a－a－4

(1)当Δ>0，即a>2或a<－2时，方程x＋ax＋1＝0有两个不等实根x1＝，x2

2

2

2

2

2

2

－a＋a－4＝，

2且x1

所以原不等式的解集为

2

??－a－a2－4－a＋a－4?x?x<或x>22??

2

?

?； ?

(2)当Δ＝0，即a＝±2时，

①若a＝2，则原不等式的解集为{x|x≠－1}； ②若a＝－2，则原不等式的解集为{x|x≠1}；

(3)当Δ<0，即－2

思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤

(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．

(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．

(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

跟踪训练1 (1)若不等式ax＋8ax＋21<0的解集是{x|－7

解析 由题意可知－7和－1为方程ax＋8ax＋21＝0的两个根． 21

∴－7×(－1)＝，故a＝3.

2

2

2

2

a(2)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是__________． 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)

解析 依题意得，|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，即函数y＝|x－1|＋|x＋

m|的最小值是|m＋1|，于是有|m＋1|>3，m＋1<－3或m＋1>3，由此解得m<－4或m>2.因此

实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．

1

题型二 线性规划问题

x＋2y≥2，??

例2(2018·浙江五校联考)已知实数x，y满足约束条件?x－y≥－1，

??2x－y≤4，

大值为16，则实数a＝________，z的最小值为________． 答案 2 1

且z＝ax＋y的最

解析 如图，作出不等式组所表示的可行域(△ABC及其内部区域)．目标函数z＝ax＋y对应直线ax＋y－z＝0的斜率k＝－a.

??2x－y＝4，

(1)当k∈(－∞，1]，即－a≤1，a≥－1时，目标函数在点A处取得最大值，由?

?x－y＝－1，?

解得A(5,6)，故z的最大值为5a＋6，即5a＋6＝16，解得a＝2.

(2)当k∈(1，＋∞)，即－a>1，a<－1时，目标函数在点C处取得最大值，由?解得C(0,1)，故z的最大值为0×a＋1＝1，不符合题意． 综上，a＝2.

数形结合知，当直线z＝2x＋y经过点C时，z取得最小值，zmin＝2×0＋1＝1. 思维升华

1．利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有

2→→

(1)截距型：如z＝－2x＋y，z＝x，z＝OP·OM(其中M(x，y)为区域内动点，P(－2,1))，等

4等．

(2)距离型：如z＝(x－2)＋y，z＝|2x－y|，等等．

2

2

?x＋2y＝2，?

??x－y＝－1，

yy＋1x＋y＋1xy＋1xx2＋?y＋1?2

(3)斜率型：如z＝，z＝，z＝，z＝＋＝，等等．

xxy＋1xy＋1xy＋xy2x22

(4)二次曲线型：如z＝xy，z＝，z＝＋y，等等．

x2

2

3．解题时要注意可行解是区域的所有点还是区域内的整点．

x－y＋1>0，??

跟踪训练2 (1)(2018·湖州五校模拟)设实数x，y满足约束条件?x＋y－3<0，

??y>0，

－y的取值范围为( ) A．(－6，－1) C．(－1,8) 答案 D

B．(－8，－2) D．(－2,6)

则z＝2x解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示．作出直线y＝2x，平移直线，直线z＝2x－y在点B(－1,0)处的取最小值为－2，在点C(3,0)处的取最大值为6，所以z＝2x－y的取值范围为(－2,6)．

方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(－1,0)，(3,0)，分别代入z＝2x－y求值，得0，－2,6，所以z＝2x－y的取值范围为(－2,6)． 2x＋5y≥0，??

(2)若x，y满足?2x－y≥0，

??x≤5，

2

2

则不等式组表示的平面区域的面积为________，z＝(x＋

1)＋(y－1)的最小值为________． 9

答案 30

5

2x＋5y≥0，??

解析 作出?2x－y≥0，

??x≤5

表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则不等式组表

11

示的平面区域的面积为×5×2＋×10×5＝30.

22

3

z＝(x＋1)2＋(y－1)2表示可行域内的点(x，y)与点M(－1,1)之间的距离的平方，数形结合易

知，z＝(x＋1)＋(y－1)的最小值为点M(－1,1)到直线2x－y＝0的距离的平方，即zmin＝2

2

|2×?－1?－1|2[22＋?－1?2]2

＝95

. 题型三 基本不等式的应用

例3 (1)已知x2

＋4xy－3＝0，其中x>0，y∈R，则x＋y的最小值是( ) A.3

2B．3C．1D．2 答案 A

2

解析 由x2

＋4xy－3＝0，得y＝3－x4x，

即有x＋y＝x＋3－x2

4x＝3?1?4??x＋x??

.

∵x>0，∴x＋1x≥2，即x＋y≥3

2

，

当且仅当x＝1x，即x＝1，y＝13

2时，x＋y取得最小值2

. ?a2

(2)已知a>0，b>0，c>1，且a＋b＝1，则?＋1?ab－2???

·c＋2c－1的最小值为______．

答案 4＋22

∵a2＋1a2＋?a＋b?22a2＋2ab＋b2解析ab＝ab＝ab

＝2a＋b＋2≥22abab·ba＋2＝22＋2，

?当且仅当?2a?b＝ba，

?a＝2－1，??a＋b＝1，

即?

?b时等号成立，

＝2－2

∴?2

?a＋1?ab－2???

·c＋2c－1≥22c＋2c－1 ＝22(c－1)＋

2

c－1

＋22 4