三角函数的高中数学组卷

【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣

，从而可求最小周期和最小值；

（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣π]时，可得x﹣

的范围，即可求得g（x）的值域．

cosx=sin2x﹣

2

）﹣

）﹣，由x∈[，

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣﹣

，

（1+cos2x）=sin（2x﹣）

∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣

）﹣

=﹣．

（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣当x∈[sin（x﹣

，π]时，有x﹣）﹣

∈[

，

]，从而sin（x﹣，

，

]，

]．

）的值域为[，1]，那么

的值域为：[，π]上的值域是[

故g（x）在区间[

【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．

30．（2015?重庆）已知函数f（x）=sin（（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值； （Ⅱ）讨论f（x）在

上的单调性．

﹣x）sinx﹣

x

【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值． （Ⅱ）根据2x﹣上的单调性．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（=sin2x﹣

cos2x﹣

=sin（2x﹣

﹣x）sinx﹣）﹣．

，

x=cosxsinx﹣

（1+cos2x）

∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在

故函数的周期为=π，最大值为1﹣

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（Ⅱ）当x∈ 时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，

]时，f（x）为增函数； 当

≤2x﹣

≤π时，即x∈[

，

]时，f（x）为减函数．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．

31．（2015?天津）已知函数f（x）=sinx﹣sin（x﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣

，

]内的最大值和最小值．

），由周期公式可得；

2

2

），x∈R．

【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣（Ⅱ）由x∈[﹣

，

]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．

2

2

【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sinx﹣sin（x﹣=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+=（﹣cos2x+=sin（2x﹣

）

=π；

∈[﹣

，

sin2x）

）]

）

sin2x）

∴f（x）的最小正周期T=（Ⅱ）∵x∈[﹣∴sin（2x﹣

，

]，∴2x﹣]，

]，

）∈[﹣1，

，

]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，

∴f（x）在区间[﹣]内的最大值和最小值分别为，﹣

【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．

32．（2014?天津）已知函数f（x）=cosx?sin（x+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣

，

]上的最大值和最小值．

）﹣

cosx+

2

，x∈R．

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【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式

求出此函数的最小正周期；

的范围，再利用正弦函

（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx?（sinx====

=π．

，

，

]，则

∈[

cosx）

所以，f（x）的最小正周期（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=由x∈[﹣∴当当

=，=﹣

]得，2x∈[﹣时，即

，]，

，

=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：=时，f（x）取到最大值是：， ．

时，即

所以，所求的最大值为，最小值为

【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式

33．（2015?北京）已知函数f（x）=

sincos﹣

sin

．

应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；

（Ⅱ）由x的范围，可得x+【解答】解：（Ⅰ）f（x）==

sinx﹣

（1﹣cosx）

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的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值． sincos﹣

sin

=sinxcos=sin（x+

+cosxsin）﹣

﹣，

则f（x）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得 ﹣

≤x+

≤

，

，

时，sin（x+

）取得最小值﹣1，

．

即有﹣1则当x=﹣

则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣

【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题． 34．（2015?广东）已知 tanα=2． （1）求tan（α+

）的值；

（2）求 的值．

【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可． （2）利用二倍角公式化简求解即可． 【解答】解：tanα=2．

（1）tan（α+）===﹣3；

（2）==

==1．

【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．

35．（2015?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（=2． （Ⅰ）求

的值；

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+A）