2019年河南省信阳市中考数学二模试卷

∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， 又∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE， 即∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE∽△CDF， ∴

，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ADC∽△CDB， ∴∴

．

，

（3）由（2）有，△ADE∽△CDF， ∵∴

∴CF＝2AE， 在Rt△DEF中，DE＝2∴EF＝2

，

﹣CE），EF

，DF＝4

，

＝，

＝，

①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（＝2

，

2

2

2

根据勾股定理得，CE+CF＝EF，

第33页（共38页）

2

2

∴CE+[2（∴CE＝2而AC＝

﹣CE）]＝40 ，或CE＝﹣

（舍）

＜CE，

∴此种情况不存在， ②当E在AC延长线上时，

在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（根据勾股定理得，CE+CF＝EF， ∴CE+[2（∴CE＝③如图1，

当点E在CA延长线上时， CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣根据勾股定理得，CE+CF＝EF， ∴CE+[2（CE﹣∴CE＝2即：CE＝2

2

2

2

2

2

2

2

2

+CE），EF＝2，

+CE）]＝40， ，或CE＝﹣2

（舍），

2

），EF＝2，

）]＝40，

（舍） ．

2

，或CE＝﹣或CE＝

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解本题的关键，求CE是本题的难点

23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式；

（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝

，试求m的最大值及此时点P的坐标；

第34页（共38页）

2

（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）因为抛物线y＝ax+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），求出点C坐标代入求出a即可； （2）由△CMD∽△FMP，可得m＝次函数的性质即可解决问题；

（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．分两种情形分别求解即可：①当DP是矩形的边时，有两种情形；②当DP是对角线时； 【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点， 所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4）， ∵OC＝2OA，OA＝2，

∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，

∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x+x+4或y＝﹣（x﹣1）+．

（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．

2

2

22

＝，根据关于m关于x的二次函数，利用二

第35页（共38页）

∵CD∥PE， ∴△CMD∽△FMP， ∴m＝

＝

，

∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）， ∵BC的解析式为y＝﹣x+4，

设P（n，﹣n+n+4），则F（n，﹣n+4）， ∴PF＝﹣n+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）+2， ∴m＝

＝﹣（n﹣2）+，

2

2

2

2

∵﹣＜0，

∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．

（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． ①当DP是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，

第36页（共38页）