2019年河南省信阳市中考数学二模试卷

【分析】（1）如图1，连AE，由等腰三角形的性质可知E为PB中点，则OE是△PAB的中位线，OE∥PA，可证得∠DOE＝∠EOB，则∠EDO＝∠EBO可证；

（2）如图2，由条件知OA＝4，当OA边上的高最大时，△AOD的面积最大，可知点D是

的中点时满足题意，此时最大面积为8；

（3）如图3，当DE＝4时，四边形ODEB是菱形．只要证明△ODE是等边三角形即可解决问题．

【解答】证明：（1）如图1，连AE，

∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵PA＝AB， ∴E为PB的中点， ∵AO＝OB， ∴OE∥PA，

∴∠ADO＝∠DOE，∠A＝∠EOB ∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ADO， ∴∠EOB＝∠DOE，

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∵OD＝OE＝OB， ∴∠EDO＝∠EBO； （2）①∵AB＝8， ∴OA＝4，

当OA边上的高最大时，△AOD的面积最大（如图2），此时点D是

的中点，

∴OD⊥AB， ∴

；

②如图3，当DE＝4时，四边形OBED为菱形，理由如下：

∵OD＝DE＝OE＝4， ∴△ODE是等边三角形， ∴∠EDO＝60°，

由（1）知∠EBO＝∠EDO＝60°， ∴OB＝BE＝OE， ∴四边形OBED为菱形， 故答案为：8；4．

【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、中位线定理、菱形的判定等知识，

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解题的关键是找准动点D在圆上的位置，灵活运用所学知识解决问题，

19．（9分）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板AB始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC绕着转轴B旋转．已知连接杆BC的长度为20cm，BD＝等．

（1）当托板与压柄的夹角∠ABC＝30°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度．

（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座垂直，如图②．求这个过程中，点E滑动的距离．（结果保留根号）

cm，压柄与托板的长度相

【分析】（1）如图1中，作DH⊥BE于H．求出DH，BH即可解决问题． （2）解直角三角形求出BE即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BE于H． 在Rt△BDH中，∵∠DHB＝90°，BD＝4∴DH＝BD＝2

（cm），BH＝

cm，∠ABC＝30°，

DH＝6（cm），

∵AB＝CB＝20cm，AE＝2cm， ∴EH＝20﹣2﹣6＝12（cm）， ∴DE＝

（2）在Rt△BDE中，∵DE＝2∴BE＝

＝6

（cm），

）cm．

，BD＝4

，∠DBE＝90°，

＝

＝2

（cm）．

∴这个过程中，点E滑动的距离（18﹣6

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【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

20．（9分）小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为x（个）（x为整数）．

（Ⅰ）根据题意，填写下表： 攒钱的月数/个 小明攒钱的总数/元 小强攒钱的总数/元 （Ⅱ）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？ （Ⅲ）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够先买到该模型？

【分析】（1）根据总钱数＝原有钱数+每月攒钱数×攒钱的月数，即可得出每个空中的结论，此题得解；

（2）令200+50x＝150+60x，解之可求出x值，将其代入150+6x中即可得出结论； （3）分别求出200+50x≥780和150+60x≥780的x的取值范围，比较后即可得出结论． 【解答】解：（I）6个月时，小明攒钱的总数为：200+50×6＝500（元）； x个月时，小明攒钱的总数为：200+50x；

3个月时，小强攒钱的总数为：150+60×3＝330（元）； x个月时，小强攒钱的总数为：150+60x． 故答案为：500；200+50x；330；150+60x． （II）根据题意，得：200+50x＝150+60x， 解得：x＝5．

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3 350 6 500 … … x 200+50x 330 510 … 150+60x