2019年河南省信阳市中考数学二模试卷

三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（8分）先化简，再求值：（的整数解．

17．（9分）某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表： 九年级抽取部分学生成绩的频率分布表

第1段 成绩x/分 x＜60 频数 2 6 9 a 15 频率 0.04 0.12 b 0.36 0.30 ﹣

）÷（﹣1），其中a为不等式组

第2段 60≤x＜70 第3段 70≤x＜80 第4段 80≤x＜90 第5段 90≤x≤100 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ； （2）请补全频数分布直方图；

（3）样本中，抽取的部分学生成绩的中位数落在第 段；

（4）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？

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18．（9分）如图，⊙O中，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝AB，PA、PB交⊙O于D、E两点，∠PAB为锐角，连接DE、OD、OE． （1）求证：∠EDO＝∠EBO； （2）填空：若AB＝8，

①△AOD的最大面积为 ；

②当DE＝ 时，四边形OBED为菱形．

19．（9分）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板AB始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC绕着转轴B旋转．已知连接杆BC的长度为20cm，BD＝等．

（1）当托板与压柄的夹角∠ABC＝30°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度．

（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座垂直，如图②．求这个过程中，点E滑动的距离．（结果保留根号）

cm，压柄与托板的长度相

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20．（9分）小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为x（个）（x为整数）．

（Ⅰ）根据题意，填写下表： 攒钱的月数/个 小明攒钱的总数/元 小强攒钱的总数/元 （Ⅱ）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？ （Ⅲ）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够先买到该模型？ 21．（10分）有这样一个问题：探究函数y＝经验，对函数y＝完整： x y .. … ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣ ﹣ ﹣2 ﹣1 0 0 1 ﹣2 ﹣ 3 m 3.5 4 … ﹣2x的图象与性质．小彤根据学习函数的

510 … 3 350 6 … … x ﹣2x的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充

（1）求m的值为 ；

（2）如图，在平面直角坐标xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； （3）方程

﹣2x＝﹣2实数根的个数为 ；

（4）观察图象，写出该函数的一条性质 ；

（5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝x，根据图象写出方程x﹣2x＝x的一个正数根约为 （精确到0.1）．

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3

22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

＝，CD⊥AB于点D，点E是直

线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现：

如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则（2）数学思考：

①如图2，若点E在线段AC上，则

＝ （用含m，n的代数式表示）；

＝ ；

②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝

，BC＝2

，DF＝4

，请直接写出CE的长．

23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式；

（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝

，试求m的最大值及此时点P的坐标；

2

（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

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