2020届高考理科数学二轮专题检测：高难拉分攻坚特训(六)

高难拉分攻坚特训(六)

x＋1

1．已知函数f(x)＝ex－ax有两个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(0，＋∞) ?2?C.?e，＋∞? ??答案 A

x＋1x＋1

解析 f(x)＝ex－ax，令f(x)＝0，可得ax＝ex，当x＝0时，上式显然不

x＋1x＋1

成立；可得a＝xex(x≠0)有且只有2个不等实根，等价为函数g(x)＝xex的图象ex?－x2－x－1?

和直线y＝a有且只有两个交点．由g′(x)＝<0恒成立，可得当x＞

?xex?2x＋1

0时，g(x)单调递减；当x＜0时，g(x)单调递减．且g(x)＝xex>0在x>0或x<－1时恒成立，作出函数g(x)的大致图象，如图，由图象可得a>0时，直线y＝a和y＝g(x)的图象有两个交点．故选A.

B．(1，＋∞)

2??

D.?0，e? ??

2．已知底面是正六边形的六棱锥P－ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O的表面积为________．

答案

25π

4 解析 因为六棱锥P－ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P－ABCDEF为正六棱锥时，体积最大．设

11??

?h＝3，解得h＝2.记球O的半径正六棱锥的高为h，则3×?6×2×1×1×sin60°

??

5

为R，根据平面截球面的性质，得(2－R)2＋12＝R2，解得R＝4，所以球O的表面

- 1 -

?5?25π

积为4πR2＝4π?4?2＝4.

??

3．已知函数f(x)＝x2－1＋aln (1－x)，a∈R.

(1)若函数f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围； f?x1?f?x2?

(2)若函数f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1x. 21解 (1)由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，1)， －2x2＋2x－aa

∵f′(x)＝2x－＝(x<1)，

1－x1－x对于y＝－2x2＋2x－a， ∵Δ＝4－8a，

1

①若Δ≤0，即a≥2，则－2x2＋2x－a≤0恒成立， ∴f(x)在(－∞，1)上为单调减函数．

1－1－2a1

②若Δ>0，即a<2，方程－2x2＋2x－a＝0的两根为x1＝，x2＝

21＋1－2a1

，x2>>x1， 22

∴当x∈(－∞，x1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 1??

当x∈?x1，2?时，f′(x)>0，f(x)单调递增，不符合题意．

??

?1?

综上，实数a的取值范围为?2，＋∞?.

??

(2)证明：因为函数f(x)有两个极值点，所以f′(x)＝0，在x<1上有两个不等实根．

即－2x2＋2x－a＝0在(－∞，1)上有两个不等的实根x1，x2， 设x1

x1＋x2＝1，??1

∴0

xx＝，??122

1???1?0，∴x1∈?，x∈?，1? 2???2?2?

f?x1?x21－1＋aln ?1－x1?

＝ x2x2＝－(1＋x1)＋2x1ln (1－x1)，

f?x2?

同理：x＝－(1＋x2)＋2x2ln (1－x2)．

1

- 2 -

设g(x)＝－(1＋x)＋2xln (1－x)，x∈(0,1)，

2x

则g′(x)＝－1＋2ln (1－x)－，

1－x2x

设h(x)＝－1＋2ln (1－x)－，x∈(0,1)，

1－x

22

∴h′(x)＝－－<0，在(0,1)上恒成立，

1－x?1－x?2所以h(x)为(0,1)上的减函数．

∴h(x)

f?x1?f?x2?

∵x1g(x2)，∴x>x. 21

4．武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个．为合理配置旅游资源，现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖

1

记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为2，游客之间选择意愿相互独立．

(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；

(2)①若从游客中随机抽取m(m∈N*)人，记这m人的总分恰为m分的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；

②在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1(n≥2)之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．

解 (1)X的所有可能取值为3,4,5,6.

1?1?12??33?2?＝， P(X＝3)＝?2?3＝8，P(X＝4)＝C3

????81?1?312??33??P(X＝5)＝C32＝8，P(X＝6)＝?2?＝8. ????所以X的分布列为

X P

13319

所以E(X)＝3×8＋4×8＋5×8＋6×8＝2. ?1?m

(2)①总分恰为m分的概率Am＝?2?，

??

- 3 -

3 18 4 38 5 38 6 18 11

所以数列{Am}是首项为2，公比为2的等比数列． 1?1?

?1－210?×2??1023

所以其前10项和S10＝

1＝1024. 1－2

②因为已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，得不到n分的情况只

1

有先得(n－1)分，再得2分，概率为2Bn－1(n≥2)．

11

所以1－Bn＝2Bn－1(n≥2)，即Bn＝－2Bn－1＋1(n≥2)，

2?21?

所以Bn－3＝－2?Bn－1－3?(n≥2)，

??2??1?2?1

所以Bn－3＝?B1－3??－2?n－1，易知B1＝2，

????

21?1?n－121?1?n2?－1?n

所以Bn＝3－6?－2?＝3＋3?－2?＝3＋. ????3×2n

- 4 -