武汉大学2003数学分析试题解答

武汉大学2003年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 考试科目：数学分析

科目代码：359

一、 判断下列命题是否正确（共5小题，每小题6分，共30分）：

1）单调序列{an}中有一子列{ani}收敛，则序列{an}收敛。 2）子列{an}的子序列{a2n}和{a2n?1}收敛，则序列{an}也收敛 3）序列{an}收敛，则序列{an}收敛，其命题也成立

14）?an收敛，则an?o().

n5）函数序列{un(x)}，x?[a,b]，满足对任意的自然数p和任意x?[a,b]，有以下性质：limun(x)?un?p(x)?0，则{un(x)}一致收敛。

n??二、 计算题（每小题8分，共32分）

1）设F(x)??x?1tlntdt,求F'(0)

xex?ln(1?x)2）求极限：lim

x??x23）

2222222计算积分：(x?y?z)dV,其中V是球面x?y?z?a和圆???V锥面z?x2?y2之间的部分

4）计算曲面积分I???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy，S为球面x2?y2?z2?1的

S外侧

三、 判断级数与反常积分的敛散性（共4小题，每小题9分，共36分）

1）?

3）???1sin2xdx x 2）???1sinxdx 1x?x(?1)nnn5 4）?1 lnn(lnn)

22??x?y?2az四、 设a>0,求曲线?2上的点到xy-平面的最大最小距离 22??x?y?xy?accan2五、 设0

222xn六、 设f(t)在R上连续，证明：lim?f()dx?f(0)

n??1?x0

??1七、 证明含参量非正常积分：?0xe?xy2dy，对任意??0在[?,??]一致收敛，

而在[0,??]上不是一致收敛的