高中数学第2章2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理讲义(含解析)苏教版选修2_2

2．1.2 演绎推理

看下面两个问题：

(1)?是任意非空集合的真子集，A是非空集合，所以?是集合A的真子集；

·

·

(2)循环小数是有理数，0.332是循环小数，所以0.332是有理数． 问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？ 提示：都说的一般原理． 问题2：第二句又说什么？ 提示：都说的特殊示例． 问题3：第三句呢？

提示：由一般原理对特殊示例作出判断．

1．演绎推理

含义 由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法． (1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中． 特点 (2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系． (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化. 2．三段论

大前提 小前提 结论 一般模式 提供了一个一般性的原理 指出了一个特殊对象 揭示了一般原理与特殊对象的内在联系 常用格式 M是P S是M S是P

1．演绎推理是由一般到特殊的推理，一种必然性的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提与结论之间的联系是必然的．

2．三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．

[对应学生用书P20]

把演绎推理写成三段论 [例1] 将下面的演绎推理写成三段论的形式： (1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，曲线C：＋y＝1是椭圆，所以曲线C2的离心率e的取值范围为(0,1)．

(2)等比数列的公比都不为零，数列{2}(n∈N)是等比数列，所以数列{2}的公比不为零．

[思路点拨] 这种类型的题目只要明确各推理案例中的大前提、小前提与结论即可． [精解详析] (1)大前提：所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)． 小前提：曲线C：＋y＝1是椭圆．

2

结论：曲线C的离心率e的取值范围为(0,1)． (2)大前提：等比数列的公比都不为零． 小前提：数列{2}(n∈N)是等比数列． 结论：数列{2}的公比不为零．

[一点通] 演绎推理的重要形式是三段论，分清大前提、小前提和结论是解题的关键．大前提是给出一般性的原理，小前提是指出特殊对象，结论是体现一般性原理与特殊对象的内在联系的必然结果．

1．用三段论的形式写出下列演绎推理．

(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直． (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等． (3)0.332是有理数．

(4)y＝sin x(x∈R)是周期函数．

解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提) 正方形是菱形，(小前提)

所以正方形的对角线相互垂直．(结论)

(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提) ∠1和∠2不是对顶角，(小前提) 所以∠1和∠2不相等．(结论)

(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提)

nn*

x2

2

n*nx2

2

0．332是有限小数，(小前提) 所以0.332是有理数．(结论)

(4)因为三角函数是周期函数，(大前提)

y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)

所以y＝sin x是周期函数．(结论)

2．指出下列各演绎推理中的大前提、小前提，并判断结论是否正确． (1)a∥b一定有a＝λb(λ∈R)，向量c与向量d平行，所以c＝λd.

?1?x?1?xx(2)指数函数y＝a(0

?2??2?

解：(1)大前提：a∥b一定有a＝λb(λ∈R)． 小前提：向量c与向量d平行． 结论是错误的，原因是大前提错误． 因为当a≠0，b＝0时a∥b， 这时找不到实数λ使得a＝λb.

(2) 大前提：指数函数y＝a(0

x?1?x小前提：y＝??是指数函数．

?2?

结论是正确的．因为大前提、小前提均是正确的．

[例2] 在平面四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：四边形

利用三段论证明数学问题 ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．

[思路点拨] 原题可用符号表示为：AB＝CD且BC＝AD?四边形

ABCD为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在

命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．

[精解详析] (1)连结AC. (2)AB＝CD，(已知)

BC＝AD，(已知) CA＝AC.

(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于： 对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等；(大前提) △ABC和△CDA的三边对应相等；(小前提) △ABC与△CDA全等．(结论)

符号表示：

AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC?△ABC≌△CDA.

(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于： 对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等；(大前提) △ABC和△CDA全等；(小前提)

它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论) (5)内错角相等，两直线平行；(大前提) ∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB与CD、AD 与BC被AC所截得到的内错角；(小前提)

AB∥CD，AD∥BC.(结论)

(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形；(大前提) 四边形ABCD的两组对边分别平行；(小前提) 四边形ABCD是平行四边形．(结论)

[一点通] 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．

常见的解题错误：

①条件理解错误(小前提错)； ②定理引入和应用错误(大前提错)； ③推理过程错误等．

3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a＋b＋c＝10，x＋y＋z＝40，ax＋by＋cz＝20，则

2

2

2

2

2

2

a＋b＋c＝________.

x＋y＋z解析：∵由题意可得，＋＋＝10，

444∴a＋b＋c＋＋＋－ax－by－cz＝0，

444即?a－?＋?b－?＋?c－?＝0. ?2??2??2?∴a＝，b＝，c＝.

222

2

2

2

x2y2z2

x2y2z2

y?2?z?

x?2?z?2

xyx＋y＋z2a＋b＋c1∴＝＝. x＋y＋zx＋y＋z2