2016-2017学年江苏省南通市启东市高二下学期期末数学试卷含答案

∴q（x）的最小值为q（1）＝a+4a+4＝（a+2）， ∴h（x）的最小值为log2（a+2）＝2log2（a+2）； ②若

≥2即a≥4时，q（x）在[1，2]上单调递减，

+4a＝（a+4），

2

2

2

22

∴q（x）的最小值为q（2）＝8+

∴h（x）的最小值为log2[（a+4）]＝﹣1+2log2（a+4）； ③若1＜

＜2即2＜a＜4时，q（x）在[1，2]上先减后增，

∴q（x）的最小值为q（）＝8a， ∴h（x）的最小值为log2（8a）＝3+log2a．

综上：当﹣2＜a≤2时，h（x）的最小值为2log2（a+2）； 当2＜a＜4时，h（x）的最小值为3+log2a； 当a≥4时，h（x）的最小值为﹣1+2log2（a+4）．

【点评】本题考查了奇函数的性质，函数单调性与函数最值的计算，考查分类讨论思想，属于中档题．

20．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【解答】解：（1）∵

∵函数f（x）在x＝2处的切线与x轴平行 ∴f′（2）＝

，解得a＝

，（x＞0）

（2）∵2＝，（x＞0，a＞0）

令h（x）＝ax+（2a﹣2）x+a，（a＞0），△＝4﹣8a ①）当△＝4﹣8a≤0，即a在区间[1，2]上单调递增； ②当△＝4﹣8a＞0，即0＜a交点横坐标为x1＝

h（1）＝4a﹣2＜0，h（2）＝9a﹣4 当h（2）＝9a﹣4≤0，即0

时，h（x）≤0在（1，2）上恒成立，∴f′（x）≤时，抛物线y＝ax+（2a﹣2）x+a的图象如下，与横轴

，x2＝

2

时，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，此时函数f（x）

0在（1，2）上恒成立，此时函数f（x）在区间[1，2]上单调递减

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当h（2）＝9a﹣4＜0，即

时，h（x）≤0在（1，x2）上恒成立，h（x）≥0

]上单调递减

在（x2，2）上恒成立，此时函数f（x）在区间[1，，在（

，2）上单调递增．

（3）由（2）可知，当a＝0.5时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增；即lnx在区间[1，2]上恒成立．

令x＝1+，（n∈N），则有ln（1+）＞

+

?（n+0.5）ln令n＝2017，可得

＞1?ln（）

n+0.5

＞1?， ＞e．

【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数求单调性，利用导数证明数列不等式，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题． 21．【考点】63：导数的运算．

【解答】解：（1）y＝ln

﹣x

＝﹣ln（2x+1），则y′＝﹣

﹣x

﹣x

（2x+1）′＝﹣?

﹣x

﹣x

；

（2）y＝e?sin2x，则y′＝（e）′sin2x+e?（sin2x）′＝﹣esin2x+2e?cos2x． 【点评】本题考查了导数的运算法则和复合函数的求导法则，属于基础题． 22．【考点】D3：计数原理的应用．

【解答】解：根据题意，∵x1+x2+x3+x4+x5＝1，xi∈{0，1，﹣1}，i＝1，2，3，4，5； ∴xi中有1个1和4个0，或2个1、1个﹣1和2个0，或3个1和2个﹣1， 共有C5+C5C3+C5＝5+30+10＝45，

故满足条件“x1+x2+x3+x4+x5＝1“的数组A的个数为45

【点评】本题通过集合的概念，考查了排列组合的应用问题，解题时应深刻理解题意，抓住问题的关键，进行解答问题，是基础题．

23．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．

1223

【解答】解：（1）甲、乙、丙三位同学每人均从跳远，跳高，铅球，标枪四个项目中随机选一项参加比赛，

假设三人选项目时互不影响，且每人选每一个项目时都是等可能的， 基本事件总数n＝4＝64，

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3

仅有两人所选项目相同包含的基本事件个数m＝∴仅有两人所选项目相同的概率p＝

＝

．

＝36，

（2）由题意X的可能取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝

＝

，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， ∴X的分布列为： X P EX＝ 0 1 ＝． 2 3 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 24．【考点】DA：二项式定理． 【解答】解：（1）令x＝1，则D4+D4+D4+D4+D4+D4+D4+D4+D4＝3＝81， 令x＝﹣1，则D4﹣D4+D4﹣D4+D4﹣D4+D4﹣D4+D4＝（1﹣1+1）＝1， ∴0

1

201234567840123456784 3

4

5

6

7

8

＝[（D4+D4+D4+D4+D4+D4+D4+D4+D4）

+（D4﹣D4+D4﹣D4+D4﹣D4+D4﹣D4+D4）]＝×（81+1）＝41； （2）∵（1+x+x+D2017

4033x4033

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

），

2017

＝D2017+D2017x+D2017x+…+D2017+…

0122rxr

+D2017

20172017

4034x4034

（x﹣1）C2017

2016

＝C2017x，

0

02017

﹣C2017x

12016

+C2017x

22015

﹣C2017x

32015

+…+﹣

x+C2017

2017

其中其中x

系数为D2017C2017﹣D2017C2017+D2017C2017﹣D2017C2017+…+（﹣1）

第15页（共17页）

0112233

r

+..

2

20173

（x﹣1）?

2017

2017

∵（1+x+x）＝（x﹣1）

32017

，

r

r

3

2017﹣r

而二项式的（x﹣1）

的通项公式 Tr+1＝C2017（﹣1）（x）

3

2017

，

因为2017不是3的倍数，所以（x﹣1）D2017C2017

r

0

0

1

1

2

的展开式中没有x

3

3

2017

项，由代数式恒成立，

﹣D2017C2017+D2017C2017+..

2

﹣D2017C2017+…+（﹣1）＝0．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于难题．

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