(优辅资源)山东省武城县高三数学上学期第四次月考试题 理

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所以当x?0时，函数f?x?有极小值f?0??（2）因为a?1，

e. 4所以ax?4x?4??x?2???a?1?x?0，

222所以函数f?x?的定义域为R， 求导，得f'?x??ex?1?ax2?4x?4??ex?1?2ax?4??ax2?4x?4?22

?ex?1x?ax?4?2a??ax2?4x?4?,

令f'?x??0，得x1?0，x2?2?当1?a?2时，x2?x1，

4， a当x变化时，f?x?和f'?x?的变化情况如下：

x 4????,2??? a??＋ ↗ 42? a0 4??2?,0? ?a??－ ↘ 0 ?0,??? ＋ ↗ f'?x? 0 f?x? 故函数f?x?的单调减区间为?2?当a?2时，x2?x1?0， 因为f'?x????4?4??,0?，单调增区间为???,2??，?0,???. a?a??2ex?1x2?2x2?4x?4?2?0（当且仅当x?0时，f'?x??0），

所以函数f?x?在R上单调递增. 当a?2时，x2?x1，

当x变化时，f?x?和f'?x?的变化情况如下：

x ???,0? 0 4??0,2??? a??42? a4??2?,??? ?a??优质文档

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f'?x? f?x? ＋ ↗ 0 － ↘ 0 ＋ ↗ 故函数f?x?的单调减区间为?0,2???4?4??2?,???. ，单调增区间为，??,0????a?a????4?4??,0?，单调增区间为???,2??，a?a??综上，当1?a?2时，f?x?的单调减区间为?2??0,???；

当a?2时，函数f?x?在R上单调递增； 当a?2时，函数f?x?的单调减区间为?0,2???4??，单调增区间为???,0?，a?4??2?,????.

a??20.解析：（1）f'?x??ae线，

又f'?0??2a，g'?0??b，∴2a?b，f?0??a?g?0??2，∴a?2，b?4. ∴f?x??2exx?x?2?，g'?x??2x?b.∵两函数在x?0处有相同的切

?x?1?，g?x??x2?4x?2.（2分）

f'?x??2ex?x?2?，由f'?x??0得x??2，由f'?x??0得x??2，

∴f?x?在??2,???上单调递增，在???,?2?上单调递减.（4分） ①当t?1??2，即t??3时，f?x?在?t,t?1?上单调递减， ∴f?x?min?f?t?1??2et?1（5分） ?t?2?；

?t??2②当?，即?3?t??2时，f?x?在?t,?2?上单调递减，在??2,t?1?上单调

t?1??2?递增，

∴f?x?min?f??2???2e；（6分）

?2③当t??2时，f?x?在?t,t?1?上单调递增，∴f?x?min?f?t??2e?t?1?.（7分）

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∴f?x?min?2et?1?t?2?,t??3?????2e?2,?3?t??2.（8分） ?2ett?1,t??2????（2）若对任意的x??2，kf?x??g?x?恒成立，即2kex?x?1??x2?4x?2（*）对任意的x??2恒成立.

（i）当x??1时，上式化为0??1，显然对任意的实数k恒成立.（9分）

x2?4x?2（ii）当?2?x??1时，（*）式化为k?，对任意的?2?x??1恒成立.

2ex?x?1??x?x?2?x2?4x?2h'x?令h?x??，则， ??2xx2e?x?1?2e?x?1?∴当?2?x??1时，h'?x??0，∴h?x?在??2,?1?上单调递增，

2此时h?x?min?h??2??e，∴k?e.（11分）

22x2?4x?2（iii）当x??1时，（*）式化为k?，对任意的x??1恒成立. x2e?x?1?由（ii）知h?x?在??1,0?上单调递增，在?0,???上单调递减， 此时h?x?max?h?0??1，∴k?1.（12分）

2?综上，实数k的取值范围为?1,e??.（13分）

21.解析：（1）由题意知，动圆的圆心C到定点?2,0?和定直线x??2的距离相等，所以动圆的圆心C的轨迹方程为y?8x.（4分）

2x2（2）由题意知，曲线E的方程为y?，两曲线的交点为?0,0?，?8,8?，

8?x2?64dx?所以两曲线围成的封闭图形的面积S?2??x?.（7分） ?08?3?8（3）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?kx?2，A?x1,y1?，B?x2,y2?，则曲线E在A、B两点处的切线的方程分别为

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2x12x2x1x?4y? ①，x2x?4y? ② （9分）

22?x2?8y2由?得x?8kx?16?0， ?y?kx?2由根与系数的关系得x1?x2?8k，x1x2??16.（10分）

2x2?x12x?x2②－①得?x2?x1?x?，所以x?1?4k.

222x2?x12②＋①得?x2?x1?x?8y?，

2?x1?x2?所以8kx?8y?2?2x1x2264k2?32，（13分） ?8y?2将x?4k代入，可得y??2，

所以存在直线y??2，使得曲线E在A、B两点处的切线的交点总在此直线上.（14分）

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