第十章 统计与统计案例

第 25 页 共 42 页

[例1] (1)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是( )

(2)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )

A．r2

B．r4

[解析] (1)观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．

(2)由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2

判断相关关系的两种方法

(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．

线性回归分析

1．求回归直线方程的步骤

第 26 页 共 42 页

2．利用回归直线方程进行预测是对总体的估计，此估计值不是准确值．进行预测时，把自变量代入回归直线方程即可对因变量进行估计．

[例2] (2017·山西四校联考)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：

年份x 储蓄存款y(千亿元)

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 010，z＝y－5得到下表2：

时间代号t z

(1)求z关于t的线性回归方程；

(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；

(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？

－－

?xiyi－nxy

2

?x2i－nxnn

2011 5 2012 6 2013 7 2014 8 2015 10 1 0 2 1 3 2 4 3 5 5 ^^^^

(附：对于线性回归方程y＝bx＋a，其中b＝

i＝1

^－^－，a＝y－bx) －

i＝1

55

－－

[解] (1)t＝3，z＝2.2，?tizi＝45，?t2i＝55，

i＝1

i＝1

^45－5×3×2.2^－^－b＝＝1.2，a＝z－bt＝2.2－1.2×3＝－1.4，

55－5×9^

∴z＝1.2t－1.4.

^

(2)将t＝x－2 010，z＝y－5，代入z＝1.2t－1.4， ^

得y－5＝1.2(x－2 010)－1.4，即y＝1.2x－2 408.4. ^

(3)∵y＝1.2×2 020－2 408.4＝15.6，

第 27 页 共 42 页

∴预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元． [方法技巧]

1．回归直线方程中系数的两种求法 ^^

(1)公式法：利用公式，求出回归系数b，a.

－－

(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(x，y)求系数． 2．回归分析的两种策略

(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值． ^

(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b.

能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是( )

A．①②③ B．②③① C．②①③

D．①③②

解析：选D 第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则是不相关，所以应该是①③②.

2.[考点一]为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴，y轴的单位^^^

长度相同)，用回归直线方程y＝bx＋a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )

^

A．线性相关关系较强，b的值为1.25 ^

B．线性相关关系较强，b的值为0.83 ^

C．线性相关关系较强，b的值为－0.87 D．线性相关关系较弱，无研究价值

解析：选B 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y＝x的斜率要小一些，综上可知应选B.

3.[考点一]四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直

第 28 页 共 42 页

线方程，分别得到以下四个结论：

^

①y与x负相关且y＝2.347x－6.423； ^

②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648； ^

③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493； ^

④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A．①② B．②③ C．③④

D．①④

解析：选D 正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④.

4.[考点二]已知x，y的取值如下表：

x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 ^^^

从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y＝1.46x＋a，则实数a的值为________． 解析：x＝

2＋3＋4＋52.2＋3.8＋5.5＋6.5

＝3.5，y＝＝4.5，回归方程必过样本的中心44

^

点(x，y)．把(3.5,4.5)代入回归方程，计算得a＝－0.61.

答案：－0.61

5.[考点二]为了解某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：千元/吨)和年利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：

x y 1 7.0 2 6.5 3 5.5 4 3.8 5 2.2 ^^^(1)求y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；

(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？(保留两位小数)

－－

? ?xi－x??yi－y?

＝i＝1n

^

参考公式：b＝

i＝1i＝1

－－

?xiyi－nxy

2

?x2i－nxn

n

－

? ?xi－x?2

n

^－^－，a＝y－bx －

i＝1

55

－－

解：(1)由题知x＝3，y＝5，?xiyi＝62.7，?x2i＝55，

i＝1

i＝1