信号与线性系统题解第九章

9.42 用频率采样法分别按h(n)偶对称和h(n)奇对称两种情况设计线性相位低通滤波器，

已知N?16，幅度采样值的前一半为

?1,k?0,1,2,3? Hk??0.39,k?4

?0,k?5,6,7?对这两种滤波器的特性加以比较。

解：（a）h(n)偶对称，且滤波器点数为偶数，故选择第II型滤波器，此时有： Hk??HN?k ?k??k?(1?115)??k? N16(b) h(n)奇对称，且滤波器点数为偶数，故选择第IV型滤波器，此时有：

Hk?HN?k

?k??k?(1?1? )?N29.43 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，已知N?20，?c?0.15?rad。如要改善滤波器的频率效应，应采取什么措施？

解： 选择滤波器的类型。由于要设计的是低通滤波器，且N为偶数，故选择第2类滤

波器。于是有： ?k??k?(1?119)??k?,k?0,1,2,...,19。 N20由?c?2?k/N来确定通带内的点数。通带内点数为2。 根据

Hk??HN?k，可得：

k?0,1?1? Hk??0k?2,..18

??1k?19?要改善滤波器的频率效应，需要设置过渡带。

9.44 设计一个具有零相移的FIR低通滤波器，截止频率fc?125kHz，抽样间隔Ts?1?s,

脉冲响应长度N?32。试求： （a）单位脉冲响应h(n)。

（b）当滤波器输入为x(t)?sin(5*10t)的100个样点时，求输出响应。

5（c）当输入为x(t)?sin(8*10t)的100个样点时，求输出响应，并与（b）的结果相比较。

（d）若输入为50kHz方波的样本点，求滤波器的输出。 解：

（a）采用矩形窗设计法：

数字截止频率为：?c?2?fc/fs?5?4

sin(n)4,n??16,..., hd(n)?15 ?n5*105?79.57kHz,在低通滤波器的通带频率范（b）由于输入信号的频率为f?32?*10围内，故经过滤波器后输出仍然为原始信号。

?8*105?127.32kHz,在低通滤波器的通带频率范(c)由于输入信号的频率为f?2?*103围外，故经过滤波器后输出为零。

(d)当输入为50kHz方波的样本点时，由于FIR低通滤波器的截止频率

fc?125kHz，故方波信号中只有直流分量，一次谐波，两次谐波可以通过，其

余谐波衰减为零。

9.45 用频率采样法设计正交变换网络

Hd(ej?)??je?j??,0????

(a) 若为偶数，设置一个过渡点，幅度采样值为

k?0?0,?k?1,N?1 Hk??0.4,?1,k?2,3,...,N?2?请完成?k的设计。

（b） 若N为奇数，对中点k?(N?1)/2，H(k)为何值？此中点两边是否应设过

渡点？此时H(k)应如何设计?

解：

(a) N为偶数，上面正交网络可设计成第IV型滤波器

N?1??N?12k???,k?0,?,[]??2N2?(k)??2

???N?1(2?)(N?k),k?[N?1]?1,?,N?1?2N2?2(b) N为奇数，纯虚数幅度响应样本为：

?0,k?0 jHr(k)????j,k?1,?,N?1由于这是一个III型线性相位滤波器，在???处振幅响应应为零，即Hk?0为了减少波动，在靠近???处（即中点两旁）设过渡点，不妨选值为0.4

?0,k?0,k?(N?1)/2?Hk???j,2?k?(n?5)/2,(N?3)/2?k?N?2

?0.4j,k?(N?3)/2,(N?1)/2,1,N?1?N?12k?N?1????()(),k?0,?[]??22N2?(k)??

?N?12?N?1??()()(N?k),k?[]?1,?,N?1?2N2?2