2020届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学(理)试题(解析版)

x1从而切线斜率为e?1，

x0?m因此x1??ln?x0?m?，

x1而g?x1??e?ln?x0?m?1x1??，从而直线l的方程也为y?

x0?mx0?mx0?mx0?m② 由①②可知

ln?x0?m??x01???ln?x0?m?，

x0?mx0?mx0?m故?x0?m?1?ln?x0?m??x0?1， 由m为正整数可知，x0?m?1?0， 所以ln?x0?m??x0?1，0?x0?1，

x0?m?1令h?x??ln?x?m??则h'?x??x?1?0?x?1?，

x?m?12x?x?m??1?x?m??x?m?1??0，

x?1为单调递增函数，且h?1??ln2?2?0，从而x当m?1时，h?x??ln?x?1??h?x?在?0,1?上无零点；

当m>1时，要使得h?x?在?0,1?上存在零点，则只需h?0??lnm?1?0，m?12?0， m11因为h1?m??lnm?为单调递增函数，h1?3??ln3??0，

m?12h?1??ln?m?1??所以m?3；

因为h2?m??ln?m?1??因此m>1；

因为m为整数，且1?m?3， 所以m?2. 【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.

2为单调递增函数，且h2?1??ln2?2?0， m第 21 页 共 24 页

22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知

??x??2??2曲线C：?sin??2acos??a?0?.过点P??2,?4?的直线l：??y??4???参数）与曲线C相交于M，N两点.

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

2t2（t为2t2MNPN?（2）若，求实数a的值. PMMN【答案】（1）y?2ax?a?0?，x?y?2?0；（2）a?1.

2??x??2??【解析】（1）将x??cos?,y??sin?代入?sin2??2acos?求解，由??y??4???（t为参数）消去t即可.

2t22t2??x??2??（2）将??y??4???2t2（t为参数）与y2=2ax联立得2t2t2?22?4?a?t?8?4?a??0，设M，N两点对应的参数为t1，t2，则

MNPN2?，即MN?PMPN，t1?t2?22?4?a?，t1t2?8?4?a?，再根据

PMMN利用韦达定理求解. 【详解】 （1）把??x??cos?代入?sin2??2acos?，

?y??sin?2得y?2ax?a?0?，

??x??2??由??y??4???2t2（t为参数）， 2t2消去t得x?y?2?0，

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∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y?2ax?a?0?，x?y?2?0.

2??x??2??（2）将??y??4???2t22（t为参数）代入y2=2ax得t?22?4?a?t?8?4?a??0， 2t2设M，N两点对应的参数为t1，t2，则t1?t2?22?4?a?，t1t2?8?4?a?， 由

MNPN2?得MN?PMPN， PMMN22所以?t1?t2??t1t2，即?t1?t2??5t1t2， 所以8?4?a??5?8?4?a?，而a?0，

2解得a?1. 【点睛】

本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．已知函数f(x)?1|x?a|(a?R). 31?f(x)?1； 3（1）当a?2时，解不等式x?（2）设不等式x?1?11??f(x)?x的解集为M，若?,??M，求实数a的取值范围. 3?32??14?,? 23??【答案】（1）{x|x?0或x≥1}；（2）??【解析】（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果. （2）利用等价转化的思想，可得不等式|3x?1|?|x?a|?3x在?,?恒成立，然后

32解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果. 【详解】

（1）当a?2时，

原不等式可化为|3x?1|?|x?2|?3. ①当x??11???1时， 3第 23 页 共 24 页

则?3x?1?2?x?3?x?0，所以x?0； ②当

1?x?2时， 3则3x?1?2?x?3?x?1，所以1?x?2； ⑧当x?2时，

则3x?1?2?x?3?x?综上所述：

当a?2时，不等式的解集为{x|x?0或x≥1}. （2）由|x?3，所以x?2. 21|?f(x)?x， 3则|3x?1|?|x?a|?3x， 由题可知：

?11?|3x?1|?|x?a|?3x在?,?恒成立，

?32?所以3x?1?|x?a|?3x，即|x?a|?1， 即a?1?x?a?1，

1?a?1??14?3???a?所以? 123?a?1??2?故所求实数a的取值范围是??【点睛】

本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题.

?14?,?. 23??第 24 页 共 24 页