2020年浙江高考数学一轮复习：三角函数的图象与性质

πππ

0，?上单调递增，在区间?，?上单调递减，所以解析：选C 因为函数f(x)在区间??3??32?π?ωπωππ2ππ3

f(x)max＝f?＝sin＝1.又因为≥2×，所以0＜ω≤2，所以＝，解得ω＝. ?3?ω32322

π

2x－?，下列说法正确的是( ) 2．关于函数y＝tan?3??A．是奇函数

π

0，?上单调递减 B．在区间??3?π?

C.??6，0?为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π

ππ

2x－?是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan?2x－?在区间解析：选C 函数y＝tan?3?3???

?0，π?上单调递增，B错；最小正周期为π，D错；由2x－π＝kπ，k∈Z，得x＝kπ＋π，k

?3?23246

π?π

∈Z.当k＝0时，x＝，所以它的图象关于??6，0?对称． 6

π??π?π

＋x＝f－x，则f??的值为( ) 3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)对任意x都有f??6??6??6?A．2或0 C．0

B．－2或2 D．－2或0

π??π?

解析：选B 因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f??6＋x?＝f?6－x?，所以该函数π

图象关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.

6

4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为π

6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )

2

A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数

1

解析：选A ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝. 3π

∵当x＝时，f(x)有最大值，

2

1πππ

∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)， 3223π∵－π＜φ≤π，∴φ＝. 3

xπ?

∴f(x)＝2sin??3＋3?，

xπππ

令－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，

23325ππ

得－＋6kπ≤x≤＋6kπ，k∈Z，

22

5ππ

－＋6kπ，＋6kπ?，k∈Z， 故f(x)的单调增区间为?2?2?5ππ－，?， 令k＝0，得x∈??22?5ππ

－，?，故A正确． ∵[－2π，0]???22?

ππ

ωx＋?在?，π?上单调递减，则ω的取值范围是( ) 5．已知ω＞0，函数f(x)＝sin?4??2??15?

A．??2，4? 1

0，? C．??2?

13?

B．??2，4? D．(0,2]

πππππ

解析：选A 由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，

22444ππππ3πω＋，πω＋???，?， 由题意知?44??22??2

?∴?π3π

πω＋?4≤2，

πππω＋≥，242

15

∴≤ω≤，故选A. 24

π

kx＋?的最小正周期T满足1＜T＜2，6．若函数f(x)＝2tan?则自然数k的值为________． 3??π解析：由题意知，1＜k＜2，即k＜π＜2k.又k∈N，所以k＝2或k＝3. 答案：2或3

ππ1

x＋?，其中x∈?－，a?，若f(x)的值域是?－，1?，则实数a7．已知函数f(x)＝sin??6??3??2?的取值范围是________．

ππππ

－，a?，∴x＋∈?－，a＋?， 解析：∵x∈?6??3?6?6ππ1π

－，?时，f(x)的值域为?－，1?， ∵当x＋∈??2?6?62?ππ7ππ

∴结合函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.

2663π?答案：??3，π?

ππ

ωx＋?(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数8．若函数f(x)＝sin?6??2π

0，?，则x0＝________. 图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈??2?

Tπkπππ

解析：由题意得＝，T＝π，ω＝2.又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－(k∈Z)，而x0∈

226212

?0，π?，所以x0＝5π. ?2?12

答案：

5π

12

2π

0＜φ＜?的最小正周期为π. 9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?3??(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；

?π3?，求f(x)的单调递增区间．

(2)若f(x)的图象过点，?62?

2π

解：∵f(x)的最小正周期为π，则T＝ω＝π，∴ω＝2. ∴f(x)＝sin(2x＋φ)．

π

(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ，k∈Z，

22ππ

∴cos φ＝0，∵0＜φ＜，∴φ＝. 32

?π3?时，sin?2×π＋φ?＝3，

(2)f(x)的图象过点，?6?2?62?

π3

＋φ?＝. 即sin??3?2又∵0＜φ＜

2πππ，∴＜＋φ＜π. 333

ππ2ππ

2x＋?. ∴＋φ＝，φ＝.∴f(x)＝sin?3??333πππ

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

2325ππ

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

1212

5ππ

kπ－，kπ＋?，k∈Z. ∴f(x)的单调递增区间为?1212??π2x＋?. 10．已知函数f(x)＝2sin?4??(1)求函数f(x)图象的对称轴方程； (2)求函数f(x)的单调递增区间；

π3π?

(3)当x∈??4，4?时，求函数f(x)的最大值和最小值．

kππππ

解：(1)令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.

4228所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝

kππ

＋，k∈Z. 28

πππ

(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

2423ππ

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

88

3ππ

kπ－，kπ＋?，k∈Z. 故函数f(x)的单调递增区间为?88??π3π?3ππ7π

，时，≤2x＋≤， (3)当x∈??44?444

π2

2x＋?≤，所以－2≤f(x)≤1， 所以－1≤sin?4?2?

π3π?所以当x∈??4，4?时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校

π53

0，?上取到最大值1，则1．若存在实数a，使函数y＝sin2x＋acos x＋a－在闭区间??2?82实数a等于( )

A．1 3

C． 2

2

5B． 2D．2

1a51

cos x－a?2＋＋a－. 解析：选C y＝－?2?482?

π

当0≤x≤时，0≤cos x≤1，令t＝cos x，则0≤t≤1，

21a51

t－a?2＋＋a－，0≤t≤1. 所以y＝－??2?482

aaaa251

①当0≤≤1，即0≤a≤2时，则当t＝，即cos x＝时，ymax＝＋a－＝1，解得a

22248233＝或a＝－4(舍去)，故a＝； 22

a

②当＜0，即a＜0时，则当t＝0，即cos x＝0时，

2

5112

ymax＝a－＝1，解得a＝，由于a＜0，故这种情况不存在满足条件的a值；

825a

③当＞1，即a＞2时，则当t＝1，即cos x＝1时，

2532020

ymax＝a＋a－＝1，解得a＝.由于＜2，

821313故这种情况下不存在满足条件的a值．

2