澶у�︾墿鐞嗗�嶄範璧勬枡,寰堝�氶�榽 - 鐧惧害鏂囧簱

质量和杆相同。设碰撞是弹性的，求碰后小球获得的速度。

图2.16习题2.18用图（教材图2.37）

解 选杆和小球为刚体系。因碰撞是弹性的，则体系的机械能守恒。以水平桌面为重力势能零点，设杆摆至竖直位置但未与小球碰撞时的角速度为?，则有

mgL?11J?2?mgL 22在杆与小球碰撞过程中，体系对轴O的角动量守恒。设碰撞后杆的角速未度??，则有

J??J???mvL

式中J?mL3为杆绕轴O的转动惯量，v为碰后小球获得的速度。由机械能守恒，有

2111J?2?J??2?mv2 2221由以上三式，可解出碰后小球获得的速度v?3gL。

2

3.3 如图3.2所示，一环形薄片由细绳悬吊着，环的半径为R，内半径为R/2，并有电量Q均匀分布在环面上，细绳长3R，也有电量Q均匀分布在绳上，试求圆环中心O处的电场强度 （圆环中心在细绳延长线上）。

图3.2习题3.3用图（在教材图3.33上加）

解 圆环上的电荷对圆环中心O点对称分布，因此它在O点的场强为零，合场强就是细绳上的电荷在O点产生的场强。选细绳顶端为坐标原点，竖直向下为x轴。在x处取一

电荷元dq??dx?Qdx3R，它在O点的场强为

dE?dqQdx?

4??0(4R?x)212??0R(4R?x)2整个细绳上的电荷在在O点产生的场强为

E?方向竖直向下。此即所求。

3.11如图3.10所示，在电荷体密度为?的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O?的矢量用a表示。试证明球形空腔中任一点电场强度为

12??0R?0Q3RdxQ? 22(4R?x)16??0RE?

?a。 3?0图3.10习题3.11用图（在教材图3.39上加）

证 球形空腔可以看成是由电荷体密度分别为?和??的均匀带电大球体和小球体叠加而成。空腔内任一点P处的场强，可表示为 E?E1?E2?????r1?r2?(r1?r2) 3?03?03?0其中E1和E2分别为带电大球体和小球体在P点的场强。由几何关系r1?r2?a，上式可写成

E?即证。

?a 3?03.12半径为b的细圆环，圆心在Oxy坐标系的原点上。圆环所带电荷的线密度

??acos?，其中a为常量，如图3.11所示。求圆心处电场强度的x，y分量。

图3.11习题3.12用图（在教材图3.40上加）

d? dE b dq

解 由于电荷分布??acos?关于x轴对称，所以圆心O点处Ey?0，场强沿x轴。取电荷元dq??bd?，其在O点沿x轴场强为

acos2?d??bd?cos? dEx?? ??24??0b4??0b积分得

2? Ex??dEx??0a4??0b2?2cos??d???0a4?0b

3.13 如图3.12所示，两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和

R2(R2>R1)，单位长度上的电荷为?。求离轴线为r处的电场强度：(1)r?R1，

(2)R1?r?R2，(3)r?R2。

图3.12习题3.13用图（在教材图3.41上加）

R1 R2 解 电荷轴对称分布，因此电场的分布具有轴对称性。在离轴线为r处作单位长度的

同轴圆柱形高斯面，根据高斯定理，有 E2?r?其中q为高斯面包围的电荷。 (1) r?R1：q?0，E1?0 (2)R1?r?R2：q??，E2?(3)r?R2：q?0，E3?0

3.14点电荷q?10?9q?0

? 2??0rC，与它在同一直线上的A、B、C三点分别距q为10cm、20cm、

30cm，如图3.13所示。若选B为电势零点，求A、C两点的电势UA、UC。

解 坐标系的选取如图所示，xA?10cm，xB?20cm，xC?30cm，B点为电势零点。由电势的定义，得

xBx

图3.13习题3.14用图

0

UA?xA?4??q0x2dx?q4??0(11?) xAxB10?9112?(?)?10?45V ??1210204??8.85?10xBUC?xC?4??q0x2dx?q4??0(11?) xCxB10?9112?(?)?10??15V ??1230204??8.85?103.18如图3.16所示，半径分别为R1和 R2

两均匀带电薄球壳同心放置，（R1< R2），已知内外球壳间的

图3.16习题3.18用图

（教材图3.45）