第一章 行列式 山东建筑大学

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1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

a（1）bbcaca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc bc?3abc?a?b?c

1（2）a23331bb21c?bc?ca?ab?ac?bac222222?cb

2a?(a?b)(b?c)(c?a)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）2 4 1 3；

（2）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)；

（3）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2.

解（1）逆序数为3. （2）逆序数为

n(n?1)2.（3）逆序数为n(n?1).

3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为

(?1)a1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．由于p1?1,p2?3

已固定，p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为

t0?0?1?0?1或0?0?0?2?2

??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.

4.计算下列各行列式： 解

2(1)

1?1204236211c4?c2221?121aede?ef1?111=adf231542340200?bbb

1?1204236202021?12042300200=0

315r4?r2312r4?r1310?ab(2)bdac?cdcf?1c?ccee ?ebf=adfbce111=4abcdef ?1a(3)

1b?1001c?1001d1?abac?1r1?ar20?10001?abb?10a1c?1001dac?1ad1?cd 0

?100=(?1)(?1)2?1?101 dc3?dc21?ab?10=(?1)(?1) 5、证明： (1)

3?21?ab?1ad1?cd=abcd?ab?cd?ad?1

左边按第一列分开xayzay?bzaz?bxax?byaz?bxyay?bzaz?bxax?byaz?bxax?by ay?bzax?by ?bzay?bzx分别再分xa2ay?bzaz?bxax?byzyzxyaz?bxax?by ay?bzyzx?0?0?bzyx分别再分xyzyzxa3yzx?b3zxy zxyxyzxyzxyz?a3yzx?b3yzx(?1)2?右边 zxyzxya2a2?(2a?1)(a?2)2(a?3)2b2b2左边??(2b?1)(b?2)2(b?3)22

cc2?(2c?1)(c?2)2(c?3)2d2d2?(2d?1)(d?2)2(d?3)2a22a?14a?46a?9c2?c1b22b?14b?46b?9c3?c22c?14c?46c?9

1cc4?c1d22d?14d?46d?9a2a4a?46a?9a214a?4按第二列2b4b?46b?9214b?4分成二项2bc2c4c?46c?9?bc214c?4d2d4d?46d?9d214d?4第一项c3?4c22aa49a214a6ac4?6c2b2b49214b6bc3?4c2c2c49?bc2第二项14c6c?0c?9cd49d242d214d6d6a?96b?96c?96d?9 (2)

1 (3) 左边?0b?ab?ab?a4224240c?ac?ac?ac?a24240d?add?a?a24aaa24

b?a=

2d?a22b?a22222c?a22d22?a222

b(b?a)c(c?a)1d(d?a)1c?a221d?ad(d?a)

=(b?a)(c?a)(d?a)2b?ab(b?a)c(c?a)=(b?a)(c?a)(d?a)?

1b?ab(b?a)220c?bc(c?a)?b(b?a)220d?bd(d?a)?b(b?a)2

=(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)?

1(c?bc?b)?a(c?b)2221(d?bd?b)?a(d?b)2

=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)

(4) 用数学归纳法证明

当n?2时,D2?xa2?1x?a1?x?a1x?a2,命题成立.

2假设对于(n?1)阶行列式命题成立，即 Dn?1?xn?1?a1xn?2???an?2x?an?1,

则Dn按第1列展开: