计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型

三、习题

（一）基本知识类题型 3-1．解释下列概念：

1) 多元线性回归 2) 虚变量 3) 正规方程组 4) 无偏性 5) 一致性

6) 参数估计量的置信区间 7) 被解释变量预测值的置信区间 8) 受约束回归 9) 无约束回归 10) 参数稳定性检验

3-2．观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？

1) Yi??0??1Xi3??i 2) Yi??0??1logXi??i 3)

logYi??0??1logXi??i

4) Yi??0??1(?2Xi)??i 5) Yi??0??i ?1Xi?6) Yi?1??0(1?Xi1)??i

7) Yi??0??1X1i??2X2i10??i

3-3．多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别？

3-4．为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？

3-5．多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？ 3-6．请说明区间估计的含义。 （二）基本证明与问答类题型

3-7．什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型：

yi??0??1x1i??2x2i????kxki?ui，i?1,2,?,n的正规方程组，及其推导过程。

3-8．对于多元线性回归模型，证明： （1）（2）

?ei?0

0??e??(??yii?x?????x)e?0 ??11ikkii3-9．为什么从计量经济学模型得到的预测值不是一个确定的值？预测值的置信区间和置信度的含义是什么？在相同的置信度下如何才能缩小置信区间？为什么？

3-10．在多元线性回归分析中，t检验与F检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用？

3-11．设有模型：y??0??1x1??2x2?u，试在下列条件下： （1）?1??2?1 （2）?1??2

分别求出?1和?2的最小二乘估计量。 3-12．多元线性计量经济学模型

y i?1,2,…,n (2.11.1) ??x?x?????x?i011i22ikkii的矩阵形式是什么？其中每个矩阵的含义是什么？熟练地写出用矩阵表示的该模型的普通最小二乘参数估计量，并证明在满足基本假设的情况下该普通最小二乘参数估计量是无偏和有效的估计量。

3-13．有如下生产函数：lnX?1.37?0.632lnK?0.452lnL

（0.257） (0.219)

?????R2?0.98 Cov(bK,bL)?0.055

其中括号内数值为参数标准差。请检验以下零假设： （1）产出量的资本弹性和劳动弹性是等同的； （2）存在不变规模收益，即????1 。

3-14．对模型yi??0??1x1i??2x2i????kxki?ui应用OLS法，得到回归方程如下：

????x???x?????x ?i??y011i22ikki?i与y?i不相关，即：要求：证明残差?i?yi?y3-15．

???yii?0。

3-16．考虑下列两个模型：

Ⅰ、yi??1??2x2i??3x3i?ui Ⅱ、(yi?x2i)??1??2x2i??3x3i?ui?

? ? ，???1 ，??3???2???1??要求：（1）证明：?213?i?u?i? （2）证明：残差的最小二乘估计量相同，即：u2（3）在何种情况下，模型Ⅱ的拟合优度R2会小于模型Ⅰ拟合优度R12。

3-17．假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。你通过整个学年收集数据，得到两个可能的解释性方程：

??125.0?15.0X1?1.0X2?1.5X3 R?0.75 方程A：Y2??123.0?14.0X1?5.5X2?3.7X4 R?0.73 方程B：Y2其中：Y——某天慢跑者的人数

X1——该天降雨的英寸数

X2——该天日照的小时数

X3——该天的最高温度（按华氏温度） X4——第二天需交学期论文的班级数

请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？

（2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号？

3-18．对下列模型：yi????xi?2zi?ui （1）

yi????xi??zi?ui （2）

求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计值作比较：

（3）yi????xi??zi?ui ，你认为哪一个估计值更好？

3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管是否有假期，食堂都营业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，无法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括号内为标准差）：

??10.6?28.4X?12.7X?0.61X?5.9X Yi1i2i3i4i（2.6） (6.3) (0.61) (5.9) R?0.63 n?35

要求：

（1）试判定每项结果对应着哪一个变量？ （2）对你的判定结论做出说明。 （三）基本计算类题型

3-20．试对二元线性回归模型：Yi??0??1X1i??2X2i?ui ，（i?1,2,?,n）作回归分

2?,??,??； 析，要求：（1）求出未知参数?0,?1,?2的最小二乘估计量?012（2）求出随机误差项u的方差?2的无偏估计量； （3）对样本回归方程作拟合优度检验； （4）对总体回归方程的显著性进行F检验； （5）对?1,?2的显著性进行t检验；

（6）当X0?(1,X10,X20)?时，写出E(Y0|X0)和Y0的置信度为95%的预测区间。 3-21．下表给出三变量模型的回归结果： 方差来源 来自回归来自残差总离差(TSS)

平方和（SS）

65965 _— 66042

自由度（d.f.）

— — 14

平方和的均值(MSS)

— —

要求：（1）样本容量是多少？

（2）求RSS？

（3）ESS和RSS的自由度各是多少？ （4）求R和R？

（5）检验假设：X2和X3对Y无影响。你用什么假设检验？为什么？ （6）根据以上信息，你能否确定X2和X3各自对Y的贡献吗？ 3-22．下面给出依据15个观察值计算得到的数据：

22Y?367.693 ， X2?402.760 ，X3?8.0 ，?yi2?66042.269

?x22i2?84855.096 ，?x3.0 ， i?280?yxi2i?74778.346