华南理工大学数值分析试题11B

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华南理工大学研究生课程考试

《数值分析》试卷B

2012年1月6日

注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请按要求填写在试卷上； 3. 课程代码：S0003004 4. 考试形式：闭卷

5. 考生类别：硕士研究生

6. 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。

一. 解答下列问题（12分）:

(1) 试推导: 计算x3时的相对误差约等于x的相对误差的3倍。

(2) 设有递推公式 ??y0?e?yn?6yn?1?1,n?1,2,?

如果取y*0?e?2.718?y0 作近似计算，问计算到y10时误差为初始误差的多少倍？ 这个

计算过程数值稳定吗 ？ 二．插值问题( 14分): nn (1) 利用插值方法推导等式：

?[j??x?j]i?x 。 i?00,j?ii?j (2) 试用两种．．方法求过三个离散点：A（0，1）、B（1，2）、C（2，3）的插值多项式。 三. 拟合问题( 12分):

(1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是什么？ (2) 在某试验过程中，变量y依赖于变量x的试验数据如下： x： 1 2 3 4

y： 0.8 1.5 1.8 2.0 试求其形如y?ax?bx2的拟合曲线。

四. 数值求积( 12分):

(1) 4个节点的Gauss型求积公式的代数精度为多少次？

(2) 试利用Lagrange线性插值公式推导出计算定积分的梯形公式：

I??bf(x)dxb?aa?2?f(a)?f(b)??T， 并证明：当f(x)?C2[a,b],且f??(x)?0,?x?[a,b]时，成立I?T。

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五. 解线性方程组的直接法( 12分)：

(1) 与顺序Gauss消去法相比，列主元Gauss消去法的优点是什么？

(2) 已知线性代数方程组 Ax=b，其中A为n阶非奇异矩阵。假设已经求得A的三角分解：A=LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵），即L和U的元素已经计算出来，试写出求解Ax=b的步骤和计算公式，并统计其乘除法的次数。

六. 解线性方程组的迭代法( 12分)：

(1) 解线性代数方程组Ax=b 时，Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代对任意的x收敛的充分必要条件是A严格对角占优。对吗？

(2) 设有对称正定方程组Ax?b，求证当参数?满足 0???下列迭代公式收敛：

x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b),k?0,1,?

七．一元方程求根( 14分):

(0)

2 时， A (1) 证明：设方程f(x)?0在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，要求绝对误差限为0.001，则至少要二分9次．

3 (2) 将牛顿迭代法应用于方程x?a?0，导出求立方根3a（a?0）的迭代公式，并

根据收敛阶的判据，确定其收敛阶。

八．常微分方程初值问题( 12分):

若用Euler公式（ yn +1 =yn +hf(xn ,yn) ）解初值问题

?y???2y??y(0)?1(1)试推导出其数值解的表达式：

yn?(1?2h)n，并证明它收敛于准确解

y(xn)?e?2xn。

（2）讨论该数值方法的绝对稳定条件。

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