15量子物理基础

练习二十六

?所以He的谱线（k?6,n?4）?He??R(11?)与H?的谱线接近。 6242()()22（2）Li2?的Z?3，则R???9R

??9EH?9?13.6eV?122.4eV Li2?的基态能为E1

三、计算题

1． 设电子与光子的波长均为0.50nm，试求两者的动量之比以及动能之比。 解： （1）pe?h?e，po?h?o

pe:po??o:?e?1

（2） 由pe?h?e?m01??2?

c26.63?10?3483?100.5?10?96.63?10?342 ?31282(9.11?10)?(3?10)?()?90.5?101m0?2，动能之比为 2得

h??2?ech?)2m0c2?(?e?1.5?106(m/s)可见???c，所以有Eke?Eke:Eko?1hcm0?2:2?o?341?3?108?31626.63?10 ??9.11?10?(1.5?10):20.5?10?9?2.4?10?3

113

练习二十六

2． 若一个电子的动能等于它的静能，试求该电子的速率和德布罗意波长。 解：

根据题意 E?E0?Ek，即

mc2?m0c2?m0c2

得 m?2m0 或

m01??2?2m0

c23c?0.866c 2得 ??h???phm01??2?h?2?1?2m0?cc23?3?10823 1?4?6.63?10?349.11?10?31??1.4?10?12(m)?1.4?10?3(nm)

3． 用电子显微镜来分辨大小为1nm的物体，试估算所需要的电子动能的最小值。（以eV为单位） 解：

计算表明???c，所以有m0??h?

114

练习二十六

Eke11h22?m0??22m0?21(6.63?10?34)2 ???31?9229.11?10?(1?10)?2.4?10?19(J)?1.5eV

4． 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为?（x）?2n?x， sinaaa

之间找到粒子的概率； 3

试求：（1）粒子处于基态和n=2状态时，在x?0到x? （2）概率密度最大处和最大值。 解： （1）

基态时，n?1

22?x12πx3|Ψ|dx?sindx?(1?cos)dx??a?0aaa

a1a2πx313?(x?sin)|???0.1960a2πa34?2a30a30an?2

222?x14πx3|Ψ|dx?sindx?(1?cos)dx??a?0aaa

a1a4πx313?(x?sin)|???0.4020a4πa38?2a30a30a（2）概率密度 |Ψ|?可见当 sin222nπsin2x aanπ2x?1时概率密度最大，最大值为|Ψ|2?。 aaa?a k?0,1,2?处概率密度最大。 即当x?(2k?1)2n基态时，n?1

aak?0 x?(2k?1)? 处概率密度最大。

22n?2

115

练习二十六

k?0,1 x?(2k?1)

aaa? 和3 处概率密度最大。 2n44 116