2019年【泄露天机】全国统一招生高考押题卷理科数学(二)试卷(含答案)

高考数学精品复习资料

2019.5

绝密 ★ 启用前

普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学（二）

注意事项：

号位1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

封座2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效。

密 3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

号不场考一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．

1．已知集合A??x?Zx2?3x?4?0?，B??x0?lnx?2?，则AB的真子集的个数为（ ） 订 A．3 B．4 C．7

D．8

【答案】C

装 【解析】号A??x?Zx2?3x?4?0???x?Z?1?x?4????1,0,1,2,3,4?，

证考B??x0?lnx?2???x1?x?e2?，所以AB??2,3,4?，

准 只 所以AB的真子集有23?1?7个．

2．设复数z?1?2i（i是虚数单位），则z?z?z的值为（ ）

A．32 B．23 C．22 D．42卷

【答案】A

名姓【解析】z?z?z??1?2i??1?2i??1?2i=4?2i，z?z?z?32． 此 3．“ p?q为假”是“p?q为假”的（ ）条件 A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要

级

班【答案】B

【解析】由“p?q为假”得出p，q中至少一个为假．当p，q为一假一真时，p?q为真，故不充分；当“p?q为假”时，p，q同时为假，所以p?q为假，所以是必要的，所以选B． 4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏．

A．2 B．3 C．26 D．27

【答案】C

?【解析】设顶层有灯aa?a9?13a11盏，底层共有9盏，由已知得，则??a?9?a9?a1?9?26， ?2?126所以选C．

?x?25．已知实数x，y满足约束条件??x?2y?2?0，则z?x?5??x?y?2?0y的取值范围为（ ）

A．????243,?3??

B．????43,2?3?? C．????,?3???3??2???3???4,???? D．????,?4??3??2,????? 【答案】C

【解析】作出的可行域为三角形（包括边界），把z?x?51y?y改写为z?0x?5，所以1z可看作点?x,y?和?5,0?之间的斜率，记为k，则?243≤k≤3，所以z??????,?3??3?2????4,????．

6．如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是（ ） A．9?a?10

B．9?a?10

C．10?a?11

D．8?a?9

【答案】B

【解析】依次运行流程图，结果如下：S?13，n?12；S?25，n?11；S?36，n?10；S?46，

n?9，此时退出循环，所以a的取值范围是9?a?10．故选B．

x2y27．设双曲线C:a2?b2?1?a?0,b?0?的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，

则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A．2 B．2 C．22 D．4

【答案】B

【解析】因为双曲线C:x2y2a2?b2?1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y??x，所以

a?b．因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以22a?1，所以a?b?2，双曲线C的方程为x2y22?2?1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b?2． 8．过抛物线y2?mx?m?0?的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，

PQ?54m，则m?（ ）

A．4 B．6

C．8

D．10

【答案】C

【解析】因为y2?mx，所以焦点到准线的距离p?m2，设P，Q的横坐标分别是x1，x2，则

x1?x22?3，x1?x2?6，因为PQ?54m，所以x1?x2+p?54m，即6?m2?54m，解得m?8． 9．一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A．A344123?A4?3

B．A44?A3?．A123 C12 D．A12A33A4 4【答案】B

【解析】12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，操作如下：先分别把第1，2，3，4

小组的3个人安排坐在一起，各有A343种不同的坐法，再把这4个小组进行全排列，有A4不同的排

法，根据分步计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有?A33?4A44种不同的坐法，故选

B．

10．设函数f(x)?xa?x2?12对于任意x?[?1， 1]，都有f?x??0成立，则a?（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】一方面，由a?x2?0对任意x?[?1， 1]恒成立得a?1；另一方面，由f(x)?xa?x2?12?x2?a?x22?12?0得a?1，所以a?1．

11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a，b，且

2a?b?52?a?0,b?0?，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）

A．

174? B．

214? C．4? D．5?

【答案】B

【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD?A1B1C1D1的四个顶点，即为三棱锥A?CB1D1，且长方体ABCD?A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，a，b， 所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD?A1B1C1D1的外接球，

22?a2?b24?a2半径为?b22?2，

222所以三棱锥外接球表面积为4???4?a?b??????4?a2?b2??5??a?1?2?21??， ?2?4当且仅当a?1，b?1212时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为4?．

12．已知点P是曲线y=sinx+lnx上任意一点，记直线OP（O为坐标系原点）的斜率为k，则（ ）A．至少存在两个点P使得k=-1

B．对于任意点P都有k<0

C．对于任意点P都有k<1 D．存在点P使得k?1

【答案】C

【解析】任意取x为一正实数，一方面y?sinx?lnx?lnx?1，另一方面容易证lnx?1?x成立，所以y?sinx?lnx?x，因为y?sinx?lnx?lnx?1与lnx?1?x中两个等号成立条件不一样， 所以y?sinx?lnx?x恒成立，所以k<1，排除D； 当

?2?x??时，y=sinx+lnx>0，所以k?0，所以排除B； 对于A选项，至少存在两个点P使得k=-1，也就是sinx+lnxx=-1至少存在两解， 即sinx+lnx+x=0至少存在两解，(sinx+lnx+x)￠=cosx+1x+1>0恒成立，

所以sinx+lnx+x=0至多存在一解，故排除A，故选C．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知a??1,2m?1?，b??2?m,?2?，若向量a，b不共线，则实数m的取值范围为____． 【答案】m?0且m?52 【解析】因为向量a，b不共线，所以12m?1?2?m?2，所以m?0且m?52．

14．从正五边形的边和对角线中任意取出两条，则取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为________．

【答案】19

【解析】从5条边和5条对角线中任意取出2条，共有C210?45个基本事件，其中取出的两条边或

对角线所在直线不相交有5个，所以取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为

545?19． 15．若对任意的x?R，都有f(x)?f(x???6)?f(x?6)，且f0()?1?，f?????6???1，

则f??100???3??的值为________． 【答案】2

【解析】因为

f(x)?f(x??6)?f(x??6)①，所以f(x??6)?f(x)?f(x??3)②，

①+②得，f(x??3)??f(x??6)，所以

f(x??2)??f(x)， 所以

f(x??)?f(x)，所以T??，所以f??100??????3???f??3??， 在f(x)?f(x??6)?f(x??6)中，令x??6得，f(?6)?f(0)?f(?3)，

因为f(0)??1，f?????6???1，所以f(?3)?2． 16．设an表示正整数n的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列?an?的前n项和为

Sn，那么S63的值为_________．

【答案】714

【解析】由已知得，当n为偶数时，an?an，当n为奇数时，an?1?n2． 2因为S2n?1?a1?a2?a3?a4??a2n?1，

所以S2n?1?1?a1?a2?a3?a4??a2n?1?1??a1?a3?a5??a2n?1?1?+?a2?a4?a6??a2n?1?2?

???1?1?1?31?5?1?2n?1?1??22?22????a1?a2?a3??a2n?1?nn??1?2?3?2n???a1?a2?a3??a??1?2?212n?1?2?S2n?1?2?2n?4n??S2n?1， 即S12n?1?1?2?2n?4n??S2n?1， 所以S1?112n?1?2?4n?2n?1??2?4n?2?2n?2???141?21??S?1222?21?1?2n?3?4n?1?3， 所以SS2263?26?1?25?3?45?3?714．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在△ABC中，D?BC，S△ACDS?sin?B??．

△ABDsin?C（1）求证：AD平分?BAC；

（2）当??12时，若AD?1，DC?22，求BD和AC的长．

【答案】（1）见解析；（2）BD?2，AC?1．

【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理得，

sin?Bsin?C?ACAB，

因为S△ACDS?sin?B?C，······2分

△ABDsin1AC?AD所以2sin?CAD1?AC，·····2AB?ADsin?BADAB·3分

所以sin?CAD?sin?BAD，······4分

因为?CAD??BAD??，所以?CAD??BAD， 即AD平分?BAC．······6分 （2）因为

1S△ACDCD22?S?，DC?，所以BD?2，······7分 △ABDBD2在△ABD和△ADC中，由余弦定理得，AB2?AD2?BD2?2AD?BD?cos?ADB，

AC2?AD2?DC2?2AD?DC?cos?ADC，

因为cos?ADB?cos?ADC?0，所以AB2?2AC2?3AD2?BD2?2DC2， 因为AD?1，所以AB2?2AC2?6，······10分 因为

sin?Bsin?C?12，所以AB?2AC，······11分

所以AC?1．······12分

18．（12分）如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1为长方体，点P是CD中点，Q是A1B1的中点．（1）求证：AQ∥平面PB1C1； （2）若AB?2BC，BC?CC1，求二面角B1?PB?C1大小．

【答案】（1）见解析；（2）

?6． 【解析】（1）取AB得中点为R，连接PR，B1R． 由已知点P是CD中点，Q是A1B1的中点可以证得， 四边形AQB1R，PRB1C1都为平行四边形，

所以AQ∥B1R，B1R∥PC1，所以AQ∥PC1，······3分 因为AQ?平面PB1C1，PC1?平面PB1C1， 所以AQ∥平面PB1C1．······5分

（2）以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，轴，建立空间直角坐标系D?xyz．

设BC?CC1?1，则AB?2，A?1,0,0?，P??2??0,?2,0??，

?B?1,2,0?，C1?0,2,1?，C?0,2,0?，······6分

所以PB????1,2??2,0??，PC?2??1???0,，AC???1,2,0?，··?2,1??····7分

?PB?AC?1???1??22?2?0，所以PB?AC， 又BB1?AC，可得AC?平面PBB1，即AC是平面PBB1的法向量，······8分 设平面PBC1的法向量为n??x,y,z?，

?则???x?2y?0?n?PB?0?2，令n?PC?x?1，得y??2,z?1，所以n?1,?2,1，······10分 ???1?0?2????2y?z?0