（数学分析）第十一章

第十一章 反 常 积 分

(14学时 )

§ 1 反常积分概念

教学目的要求：深刻理解反常积分的概念。 教学重点难点：反常积分的含义与性质 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程:

一 问题的提出: 例（P264）. 二 两类反常积分的定义 定义1. 设函数 在极限

定义在无穷区间

上，且在任何有限区间

上可积，如果存

（1）

则称此极限J为函数

在

上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作

,并称

发散.

定义2. 设函数

定义在

收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称

上，在点 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区

间 上有界且可积，如果存在极

则称此极限为无界函数 在 上的反常积分，记作 ，并称反常积分

收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分 发散.

例1 ⑴ 讨论积分 , , 的敛散性 .

⑵ 计算积分 .

例 2 讨论以下积分的敛散性 :

⑴ ; ⑵ .

例3 讨论积分 的敛散性 .

例4 判断积分 的敛散性 .

例5 讨论瑕积分 的敛散性 ,并讨论积分 的敛散性 .

三 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数 连续 , 为瑕点. 有

, 把瑕积分化成了无穷积分;设 , 有

，把无穷积分化成了瑕积分.

可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .

§2. 无穷积分的性质与收敛判定

教学目的： 深刻理解反常积分敛散性的含义。 教学重点难点：反常积分敛散性的判别。 学时安排: 4学时 教学方法: 讲授法. 教学过程:

一 无穷积分的性质 ⑴

在区间

上可积 , — Const , 则函数

在区间

上

可积 , 且 ⑵

和

在区间

. 上可积 ,

在区间

上可积 , 且 .

⑶ 无穷积分收敛的Cauchy准则:

定理11.1 积分 收敛.

⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛

收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .

二 比较判别法

非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有

积分敛散性记法.

⑴ 比较判敛法: 设在区间 又对任何

> ,

和

在区间

上函数

上可

和

非负且

，

↗. 非负函数无穷

积 . 则 < , < ； , .

例1 判断积分 的敛散性.

推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间 则

上函数, .

ⅰ> < < , 与 共敛散 :

ⅱ> , < 时, < ；

ⅲ> , 时, . ( 证 )

推论2 （Cauchy判敛法）: ( 以 为比较对象, 即取

.以下 > 0 )设对任何 > , , 且 ,

< ；若 且 , .

可积的正值函数. 且

Cauchy判敛法的极限形式 : 设

. 则

是在任何有限区间

ⅰ> < ；

ⅱ> . ( 证 )

例2 讨论以下无穷积分的敛散性 :

ⅰ> ⅱ>

三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法: 1.Abel判敛法: 若

收敛.

2.Dirichlet判敛法: 设 调，且当

时，

在区间 .则积分

上有界，

收敛.

在

上单

在区间

上可积 ,

单调有界 , 则积分

例3 讨论无穷积分 与 的敛散性.

例4 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :

, , .

例5 ( 乘积不可积的例 ) 设 ,

。

由例6的结果, 积分

收敛 . 但积分 却发散.

§3 瑕积分的性质与收敛判别

教学目的： 熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 教学重点难点：无穷积分和瑕积分敛散性的判别。 学时安排: 2学时 教学方法: 讲授法. 教学过程:

类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限

的原意写出相应的命题.

定理11.2 ( 比较原则 ) P277 Th11.6. 系1 ( Cauchy判别法 ) P277 推论2.

系2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) P277 推论3. 例1 判别下列瑕积分的敛散性 :

⑴ ( 注意被积函数非正 ). ⑵ .

例2 讨论非正常积分 的敛散性.

注记. C—R积分与R积分的差异: 1. 积 ,

R

,

在

上

上有界 .

; 但

在区间

上可

在区间

例如函数 2.

|在区间

R

,

|

上可积 ,

| R

,但反之不正确. R积分是绝对型积分. | 在区间

上可积 , 但反之不正确.

C—R积分是非绝对型积分. 3.

,

上可积 , 上可积 ,

R

,

在区间在区间

R

; 但

和

在区间 在区间

上可积. 可见,上可积.