20届高考数学(理)二轮复习 第2部分 专题6 第2讲 基本初等函数、函数的应用(小题)

??g?3?>0，

则需满足g(1)g(3)≤0，或?Δ≥0，

a＋1?1

故实数a的取值范围为[3,4].

g?1?>0，

1010

解得≤a≤4，或3≤a<，得3≤a≤4.

33

42

??x－3x－ax，x>0，

15.(2019·河北省中原名校联盟联考)已知函数f(x)＝?4有四个零点，则实2

?x－3x＋ax，x<0?

数a的取值范围是________. 答案 (－2,0)

解析 因为f(x)是偶函数，根据对称性，

x4－3x2－ax＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根， 即a＝x3－3x在(0，＋∞)上有两个不同的实根，

等价转化为直线y＝a与曲线y＝x3－3x(x>0)有两个交点， 而y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，

则当01时，y′>0，

所以函数y＝x3－3x在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， 于是ymin＝y|x＝1＝－2，x→0，y→0，故a∈(－2,0).

??|ln x|，x>0，

16.(2019·六安模拟)己知函数f(x)＝?2若关于x的方程[f(x)]2－bf(x)＋c＝

??x＋4x＋1，x≤0，

0(b，c∈R)有8个不等的实数根，则b＋c的取值范围是________. 答案 (0,3)

解析 根据题意作出f(x)的简图，

由图象可得当f(x)∈(0,1]时，有四个不同的x与f(x)对应. 再结合题中“方程[f(x)]2－bf(x)＋c＝0有8个不同实数解”，

可知关于k的方程k2－bk＋c＝0有两个不同的实数根k1，k2，且k1和k2均为大于0且小于等于1的实数.

?b?0<<1，所以?2

0－b×0＋c>0，??1－b＋c≥0，

22

b2－4c>0，

??

化简得?0

c>0，??1－b＋c≥0，

b2

c<，4

此不等式组表示的区域如图，

令z＝b＋c，则z＝b＋c在(2,1)处取得最大值3，在(0,0)处取得最小值0， 所以b＋c的取值范围为(0,3).

B组 能力提高

17.(2019·泰安质检)已知函数f(x)＝|x2－2x－1|－t有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1

解析 由f(x)＝|x2－2x－1|－t＝0，得|x2－2x－1|＝t， 作出y＝|x2－2x－1|的图象如图，

B.(8,62) D.(62，45)

要使f(x)有四个不同的零点， 则0

同时x1，x4是方程x2－2x－1－t＝0的两个根， x2，x3是方程x2－2x－1＋t＝0的两个根，

则x1x4＝－1－t，x1＋x4＝2，x2x3＝－1＋t，x2＋x3＝2， 则x4－x1＝?x4＋x1?2－4x1x4＝8＋4t＝22＋t， x3－x2＝?x3＋x2?2－4x2x3＝8－4t＝22－t， 则2(x4－x1)＋(x3－x2)＝42＋t＋22－t， 设h(t)＝42＋t＋22－t，0

22＋t22－t2＋t2－t

由h′(t)>0，得

2121

－>0，即>， 2＋t2－t2＋t2－t

41

平方得>，即8－4t>2＋t，

2＋t2－t6

解得0

5

6

由h′(t)<0，得

56?6

故当t＝时，h(t)取得最大值h??5?＝4545，

当t→0时，h(t)→62，当t→2时，h(t)→ 8， 又8<62，所以8

即2(x4－x1)＋(x3－x2)的取值范围是(8,45]. 18.(2019·河南省十所名校联考)已知函数f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a的取值范围为( ) A.(1，＋∞) C.(3，＋∞) 答案 D

解析 因为方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根， 不妨令b＝0，则方程f[f(x)]＝0有9个不等实根， 令f(x)＝ax(x2－1)＋x＝0， 解得x1＝－

a－1

，x2＝0，x3＝a

a－1

. a

B.(2，＋∞) D.(4，＋∞)

62＋＋25

62－＝45

16＋25

416545＝＋＝555

所以f(x)＝x1，f(x)＝0，f(x)＝x3都要有3个不同的根， 由f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)， 可得f(－x)＝a(－x)[(－x)2－1]＋(－x) ＝－[ax(x2－1)＋x]＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数，

又f′(x)＝a(x2－1)＋ax·2x＋1＝3ax2－(a－1)， 由f(x)＝x1有3个不等实根， 可得f(x)不是单调函数，即a>1， 令f′(x)＝0，解得x＝±a－1

， 3a

作出x，f′(x)，f(x)的关系如下表：

x f′(x) f(x)

??－∞，－?＋ ↗ a－1?? 3a?－a－1 3a0 ??－?a－1，3a－ ↘ a－1?? 3a?a－1? ?3a?0 极小值 a－1?，＋∞? 3a?＋ ↗ 极大值 作出f(x)的简图如下：

要使得f(x)＝x1有3个根，至少要满足f ?即a?

?

?a－1??

a－1

， a

??a－1???

???3a???a－1?2?

?－1?＋3a??

a－1

<－3a

33＋2

解得a>≈3.6.

2即a>3.6，排除A，B，C.