20届高考数学(理)二轮复习 第2部分 专题6 第2讲 基本初等函数、函数的应用(小题)

当x∈[－2,0)时，f(x)＝?数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C

2?x

－1，则在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0解的个?2?

解析 对于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4. 又∵当x∈[－2,0)时，f(x)＝?

2?x

－1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数， ?2?

且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，

根据图象可得y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点.

??x＋3，x>a，

(2)(2019·吉林调研)已知函数f(x)＝?2若函数g(x)＝f(x)－2x恰有2个不同

?x＋6x＋3，x≤a，?

的零点，则实数a的取值范围为________. 答案 [－3，－1)∪[3，＋∞)

??x＋3－2x，x>a，

解析 由题意得g(x)＝?2

?x＋6x＋3－2x，x≤a，???3－x，x>a，

即g(x)＝?2如图所示，

?x＋4x＋3，x≤a，?

因为g(x)恰有两个不同的零点， 即g(x)的图象与x轴有两个交点.

若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点， 则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1， 则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3. 若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点， 则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，

即－3≤a<－1，综上a∈[－3，－1)∪[3，＋∞). 热点三 函数建模与信息题

1.构建函数模型解决实际问题的失分点： (1)不能选择相应变量得到函数模型； (2)构建的函数模型有误；

(3)忽视函数模型中变量的实际意义. 2.解决新概念信息题的关键： (1)依据新概念进行分析；

(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.

例3 (1)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线ya

＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值

4为( )

A.5 B.6 C.8 D.10 答案 A

解析 根据题意知，因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f(x)＝aent满足f(5)＝ae5n111aa111＝a，可得n＝ln ，设当k min后甲桶中的水只有升，所以f(k)＝，即ln ·k＝ln ，所25244524111以ln ·k＝2ln ， 522

解得k＝10，k－5＝5，即m＝5，故选A.

(2)(2019·闽粤赣三省十校联考)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A，B]为y＝f(x)的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若

??2，x<0，函数f(x)＝?3恰好有两个“友情点对”，则实数a的值为( ) 2

?－x＋6x－9x＋a，x≥0，?

A.0 B.1 C.2 D.－2 答案 C

解析 设A(x,2)，其中x<0，

则点A关于原点对称的点B为B(－x，－2)， 因为函数f(x)有两个友情点对，

所以－(－x)3＋6(－x)2－9(－x)＋a＝－2在(－∞，0)上有两个不同解， 即x3＋6x2＋9x＋2＝－a在(－∞，0)上有两个不同解，

即g(x)＝x3＋6x2＋9x＋2与y＝－a在(－∞，0)上有两个不同交点， g′(x)＝3x2＋12x＋9，

令g′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝－1，

可知g(x)在(－∞，－3)，(－1,0)上单调递增；在(－3，－1)上单调递减， 所以g(x)极小值为g(－1)＝－2；极大值为g(－3)＝2， 且x→0时，g(x)→2， ∴－a＝g(－1)＝－2，∴a＝2.

跟踪演练3 (1)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于( ) A.6 B.7 C.8 D.6或7 答案 B

1

2n＋×n?n－1?×3? 解析 盈利总额为21n－9－?2??341

＝－n2＋n－9，n∈N*，

22

41

由于对称轴为n＝，所以当n＝7时，取最大值，故选B.

6

(2)(2019·安徽省定远重点中学模拟)定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a，b]上存f?b?－f?a?f?b?－f?a?在x1，x2(a

b－ab－a1m

中值函数”.已知函数g(x)＝x3－x2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m的取值范围是

32( ) 48?

A.??3，3? 4

，＋∞? C.??3?答案 D

1m

解析 ∵函数g(x)＝x3－x2，

32∴g′(x)＝x2－mx，

1m

∵函数g(x)＝x3－x2是区间[0,2]上的双中值函数，

32∴区间[0,2]上存在x1，x2(0

满足g′(x1)＝g′(x2)＝＝－m，

32－042

∴x1－mx1＝x2－mx＝－m， 22

3

4

∴关于x的一元二次方程x2－mx＋m－＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，

3

B.(－∞，＋∞) 48?D.??3，3?

4

令f(x)＝x2－mx＋m－，

3

?

8?f?2?＝3－m>0，

∴?4

Δ＝m－4?m－?>0，

3

?m

?0<2<2，

2

4

f?0?＝m－>0，

3

48解得

48?∴实数m的取值范围是??3，3?.

真题体验

1.(2019·全国Ⅰ，理，3)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( ) A.a

解析 ∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a

x

??e，x≤0，

2.(2018·全国Ⅰ，理，9)已知函数f(x)＝?g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，

?ln x，x>0，?

B.a

则a的取值范围是( ) A.[－1,0) C.[－1，＋∞) 答案 C

解析 令h(x)＝－x－a， 则g(x)＝f(x)－h(x).

在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示.

B.[0，＋∞) D.[1，＋∞)

若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可