部分教学大纲

《代数学专题选讲》课程教学大纲

一、说 明

适用专业 先修课程 总 学 时 72学时 数学与应用数学 高等代数，数学分析 总 学 分 4学分 （一）本课程的目的、要求

《代数学专题选讲》是数学与应用数学专业的一门专业选修课，通过本课程的教学，应达到以下目的和要求： (1)以较高的起点对《高等代数》的主要内容进行提纲挈领式的系统总结并加以适当的拓广，使学生全面系统地掌握《高等代数》中基本概念、基本理论和基本方法。

(2) 系统介绍各类问题的解题方法及技巧，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力、抽象思维能力和综合运用知识的能力。

(3)使学生较好地掌握代数研究方法，为报考数学专业硕士研究生打下坚实的代数基础。 （二）内容的选取和实施中注意的问题

(1) 学生在一年级已学习过《高等代数》的基本内容，在本课程的教学中，对已讲授过的知识作系统性的总结，而对于多元多项式，?-矩阵等没有讲过的内容则要详细讲解。

(2)应精选适量的典型例题，分类系统地讲解解题思路与解题技巧，培养学生分析问题和解决问题的综合运用知识的能力。

(3) 在本课程的教学中应有意识地培养学生的代数思维能力，使学生掌握处理代数问题的思想方法。 (4) 在用本大纲进行教学时，应保证大纲规定的基本内容，而对教学内容的系统安排、课时分配和章节划分等方面可根据具体情况灵活掌握、适当调整。 （三）教学方法

课堂讲授为主，个别辅导为辅。 （四）考核方式

该课程为考试课程，平时作业和平时考核各占学期成绩的10%，期末考试占学期成绩的80%。期末考试为闭卷考试， 重点考察学生对基本知识的掌握情况和逻辑推理能力。 （五）教学内容与学时分配

教学章节 教学内容 学时安排 备注

1 2 3 4 5 6 7 多项式理论 矩阵的运算与行列式 矩阵的等价与线性方程组 矩阵的合同与二次型 矩阵的相似与?-矩阵 线性空间与线性变换 双线性函数 10学时 10学时 10学时 8学时 12学时 14学时 8学时 二、大纲内容 第一讲 多项式理论

1、带余除法定理，一元多项式的整除关系 2、两个多项式的最大公因式，互素关系

3、不可约多项式，因式分解及唯一性定理，重因式 4、一元多项式的根，一元多项式函数 5、多元多项式 *6、判别式 说明与要求

(1)以一元多项式的因式分解理论为主线，系统总结相关的基本内容，讲解多元多项式及对称多项式的基本内容。

(2)使学生掌握与整除、互素、不可约有关自身问题的常用证明方法。 (3)重点是一元多项式的整除关系与互素关系，难点是重因式和多项式函数。 第二讲 矩阵的运算与行列式的计算

1、 矩阵的乘法运算 2、矩阵的分块运算 3、方阵可逆的若干等价条件 4、计算行列式的常用方法 说明与要求

(1)在复习总结矩阵的运算、可逆矩阵和行列式等基本知识的基础上,介绍计算行列式的常用方法及处理矩阵问题的主要方法。

(2)使学生全面掌握有关内容，能正确计算行列式，掌握处理矩阵问题的主要方法。 (3)重点是行列式与矩阵的计算方法，难点是分块矩阵。 第三讲 矩阵的等价与线性方程组

1、向量组的线性相关性 2、矩阵的秩

3、矩阵的等价标准形 4、线性方程组理论 说明与要求

(1)以矩阵的秩为主线，在对矩阵秩自身性质和线性方程组理论进行总 结的基础上，介绍矩阵的等价标准形和线性方程组理论的应用。

(2)要让学生正确理解向量组的线性相关性，矩阵的秩和线性方程组理论， 并能用其解决一些问题。

(3)重点是向量组的线性相关性与线性方程组理论。难点是向量组的线性相关性与线性方程组理论的应用。 第四讲 矩阵的合同与二次型

1、矩阵的合同关系 2、二次型的标准形 3、正定二次型

说明与要求

(1)以二次型的标准形为基础，重点介绍实二次型正定性的判定与应用。 (2)要使学生熟练掌握二次型的标准形和实二次型正定性的判定方法，掌握 实二次型的其它类型。

(3)重点是二次型的标准形和实二次型正定性，难点是实二次型正定性的判 定。

第五讲 矩阵的相似

1、矩阵的特征值与特征向量 2、矩阵的最小多项式 3、矩阵及其等价标准形

4、矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子 5、矩阵相似的条件

6、矩阵的若当（Jordan）标准形 说明

(1)本讲大多是新授内容，要阐明矩阵的基本概念，讲明用初等变换化矩阵

为标准形以及求矩阵的初等因子、不变因子和行列式因子的方法，介绍若当标准形的求法及其应用。

(2)要使学生掌握矩阵标准形、最小多项式、矩阵三种因子和若当标准形的求法，理解掌握矩阵相似的条件。 (3)重点是矩阵的特征值和矩阵相似的条件，难点是求矩阵的初等因子、不变因子和行列式因子的方法。 第六讲 线性空间与线性变换

1、线性空间的基与维数 2、子空间的直和 3、不变子空间，值域与核 4、线性变换在基下的矩阵 5、欧氏空间 6、酉空间 说明与要求

(1)在对线性空间、线性变换与欧氏空间的基本内容进行系统总结的基础上， 介绍处理线性空间问题的常用方法。

(2) 使学生熟练掌握线性空间的维数、线性变换在基下矩阵的求法和实对称 矩阵的正交对角化方法，正确理解线性空间与线性变换的基本理论。

(3)重点是线性空间的维数、线性变换的矩阵和实对称矩阵的正交对角化， 难点是子空间的直和、线性变换的值域与核。 第七讲 双线性函数

1、线性函数 2、对偶空间 3、双线性函数 4、对称双线性函数 说明

(1)本讲为新授内容，要使学生掌握线性函数、对偶空间与对偶基，双线性 函数，对称双线性函数等基本内容。

(2)重点是各种线性函数的判定，难点是对偶空间与对偶基。

三、参考书目

1、北京大学代数与几何小组. 高等代数，北京：高等教育出版社, 1978

2、王品超. 高等代数新方法，山东：山东教育出版社, 1989 3、陈利国. 高等代数选讲，徐州：中国矿业大学出版社，2002

4、杨子胥. 高等代数习题解（修订版），山东：山东科学技求出版社, 2001

修订人：陈学华 审核人： 孙智宏

修订日期：2007年4月

《近代数学专题选讲一》课程教学大纲

一、说 明

适用专业 先修课程 总学时 （一）本课程的目的要求

数学分析和高等代数是高等学校数学和应用数学专业的两门重要基础课，学生在一、二年级掌握了数学分析和高等代数的基本理论和思想方法，对于学习后继课程有很大帮助。同时数学分析和高等代数也是数学各专业硕士研究生入学考试的必考科目。由于数学分析和高等代数的内容博大精深，有一些理论问题和解题的方法在该门课程的教学中并不能充分地展开甚至涉及，因此为了帮助学生，特别是准备考研的学生提高数学素养，全面理解数学分析和高等代数的知识体系，有效增强解题能力并进行有针对性的复习，在高年级开设数学分析和高等代数若干专题选讲就是十分必要的了。通过本课程的教学，应达到以下目的和要求：

（1）对数学分析和高等代数的主要内容进行纲领性地复习，较系统地介绍各类典型问题的解题方法和技巧，并结合一定难度的题目，使学生对数学分析和高等代数的基本理论、基本方法和基本解题技巧能在较深的层次上进行理解和掌握。

（2）拓展数学分析和高等代数课程内容的深度与广度，加强综合题的训练，提高学生的分析问题与解决问题的能力。

（二） 内容选取和实施中注意的问题

（1）本课程以讲授典型问题和解题方法为主要内容，适当地介绍一些高校近年来的数学分析和高等代数考研

54学时 数学与应用数学 数学分析、高等代数 总学分 3学分