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2.4.2向量数量积的坐标表示、模、夹角
(一)教学目标 1.知识与技能:
(1)掌握向量内积的坐标运算及其应用。 (2)掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。 (3)掌握向量的长度、距离和夹角公式。 2.过程与方法:
通过解题实践,体会公式和向量垂直的条件的应用。 3.情感、态度与价值观:
通过用向量的坐标反映向量的数量积,让学生体会到代数与几何的完美结合,说明事物是可以相互联系与相互转化的,激发学生的学习兴趣。 (二)教学重点、难点
教学重点:向量数量积的坐标表示以及由此推得的垂直条件,长度、距离和夹角公式的 坐标表示。
教学难点:向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标表示的灵活运用。 (三)教学方法:
本节的内容是在前面学习了向量的数量积的定义、性质、运算律的基础上,给出了向量内积的坐标运算公式,两向量垂直的坐标公式,向量的长度、运算、夹角的坐标公式,从而使向量数量积的运算代数化,在教学中,要引导学生分析解题思路,总结解题规律,提高学生分析问题解决问题的能力。 (四)教学过程 教学环节 复习引入 教学内容 (1)向量数量积的定义 (2)向量数量积的性质 (3)向量数量积的运算律 (4)向量的坐标运算 1.向量内积的坐标运算 a·b=a1b1+a2b2. 推导过程略 2.提问:向量垂直的充要条件是什么?如果用向量的数量积的坐标表示可以写成什么? a⊥b? a1b1+a2b2=0 说明:当bb12?0时,条件a1b1+a2b2=0,可以写成教师提出问题,学生回答。 提出问题,引导学生去猜想,引申,培养学生的探索能力。 师生互动 设计意图 教师提问,学生回答。 复习旧知识,引出新知识 让学生体会几何问题代数化的思想,培养学生的动手能力。 教师引导学生推导出结论。 概念形成教学环节 a1a?2?k。(k是比例系数) ?b2b1这就是说,如果a⊥b,则向量(a1, a2),(-b2, b1)平行。 教学内容 师生互动 设计意图 3.(1)向量的长度的计算公式及文字表述: |a|=a1?a2,向量的长度等于它的坐标平方和的算数平方根。 如教材图2-53。 推导过程略。 (2)由上述公式,得: 若A(x1, y1),B(x2, y2),则 22概念形成教师指导学生独立完成公式的推导。 AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 这就是两点的距离公式。 (3)向量夹角余弦的坐标表达式: cos? 例1.已知a=( 3,-1),b=( 1,-2),求a·b,|a|,|b|,。 小结:运用向量的数量积的坐标公式求值。 例2.已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求证AB?AC。 小结:利用数量积的坐标运算证明垂直 教师提问,学生独立完成,教师订正。 由学生独立完成推导,意在培养学生独立思考问题、解决问题的能力,让学生注重与前面知识的衔接,巩固旧知识。 教学环节 a1b1?a2b2a?a2?b?b2212212 巩固新知识,培养学生自主解决问题的能力。 教师提问。 学生独立完成,教师纠正,完善。 巩固新知识,培养学生动手能力,能够灵活运用知识的能力。 应用举例 教师:利用什么方法例3.已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求∠BAC的正弦值? 求∠BAC的正弦值。 学生:联想到两向量 的夹角的坐标公式,小结:本题利用两向量夹角的坐标公式求正弦尝试完成。 值,揭示了向量与三角的联系。 教师指导,订正。 例4.已知点A(a,b)与点A?(b,a),求证直线y?x是线段AA?垂直平分线。 小结:证明线段的垂直平分线,用到了中点坐标公式,两向量垂直的充要条件,本题是用向量知识解决解析几何问题。 教学内容 教师:证明直线是线段的垂直平分线需要证明什么? 学生:需要证明垂直和平分问题。 师生共同完成证明。 巩固新知识,复习旧知识,建立知识之间的联系。 本题是一道综合题,学生不易想到,教师分步设问,引导学生展示思维过程,让学生体会分析问题、解决问题的方法。 师生互动 设计意图 课堂练习 归纳小结 布置作业 教材练习A,1,2,3 (1)用坐标表示的数量积公式,常用来计算两向量的夹角。 (2)能够灵活运用所学知识。 教材习题A,2,4,5 学生完成,教师指导。 进一步巩固所学内容。 帮助学生总结知识,归纳方法。 师生交流,共同完成。 学生独立完成。 巩固所学知识,方法。 www.ks5u.com
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