概率论与数理统计习题参考答案

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第5页 (共101页)

解 设Ai ={一批产品中有i件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},

C={产品中次品不超两件}, 由题意

P(B|A0)?019C1C491P(B|A1)??10C505

P(B|A2)?CCC129481050?1649

19C3C4739P(B|A3)??10C509819C4C46988P(B|A1)??10C502303由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 P(B)??PA(iP)B(Ai|?)i?040. 196由Bayes公式

P(A0)P(B|A0)?0P(B) P(A1)P(B|A1)P(A1|B)??0.255P(B)P(A2)P(B|A2)P(A2|B)??0.333P(B)P(A0|B)?故

P(C)??P(Ai|B)?0.588

i?02

16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率

分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.

解 设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏90%}，则A1, A2, A3是两两互斥, 且A1+ A2 +A3=Ω, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05.

因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13, 由全概率公式

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)i?13

?0.8?0.983?0.15?0.903?0.05?0.103?0.8624由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为

P(Ai)P(B|Ai)0.8?0.983P(A1|B)???0.8731P(B)0.8624

P(Ai)P(B|Ai)0.15?0.903P(A2|B)???0.1268P(B)0.8624P(Ai)P(B|Ai)0.05?0.103P(A3|B)???0.0001P(B)0.8624由于P( A1|B) 远大于P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第6页 (共101页)

17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只

残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率α；

（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设Hi={箱中实际有的次品数}, i?0,1,2, A={通过验收}

则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：

P(A|H0)?1,4C235P(A|H1)?4?,C2464C2295P(A|H2)?4?C24138

(1)由全概率公式

??P(A)??P(Hi)P(A|Hi)?0.96

i?02(2)由Bayes公式 得

??P(Hi|A)?P(H0)P(A|H0)0.8?1??0.83

P(A)0.9618. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设

备被 使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？

解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1?p=0.9, 故

223(1) P 1?P5(2)?C5(0.1)(0.9)?0.0729(2) P2?P5(3)?P5(4)?P5(5)

35?C5(0.1)3(0.9)2?C54(0.1)4(0.9)1?C5(0.1)5(0.9)0?0.00856

19. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为

0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？ 解 在三局两胜时, 甲队获胜的概率为

PA?P3(2)?P3(3)?C(0.6)(0.4)?C(0.6)(0.4)?0.64823213330

在五局三胜的情况下, 甲队获胜的概率为

PB?P5(3)?P5(4)?P5(5)?C(0.6)(0.4)?C(0.6)(0.4)?C(0.6)(0.4)?0.682353245415550

因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大.

20. 4次重复独立试验中事件A至少出现一次的概率为

65，求在一次试验中A81概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第7页 (共101页)

出现的概率.

解 设在一次独立试验中A出现一次的概率为p, 则由题意

65 004 P4(0)?C4pq?(1?p)4?1?81解得p=1/3.

21.（87，2分）三个箱子，第一个箱子中有4只黑球1只白球，第二个箱子中有3只黑球3只白球，第三个箱子有3只黑球5只白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 解 设B?“取出白球”，Ai?“球取自第i个箱子”，i?1,2,3. A1,A2,A3是一个完全事件组，P(Ai)?1/3,i?1,2,3. P(B|A1)?1/5，P(B|A2)?1/2，

P(B|A3)?5/8，应用全概率公式与贝叶斯公式

111553P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?(??)?,

3528120i?1P(A2|B)?

22.（89，2分）已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8，则和事件A?B的概率P(A?B)? 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B|A)?0.7.

23.（90，2分）设随机事件A，B及其和事件A?B的概率分别是0.4，0.3和

3P(A2)P(B|A2)20?.

P(B)530.6. 若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P(AB)?

解 AB与B互不相容，且A?B?AB?B. 于是

P(AB)?P(A?B)?P(B)?0.3.

24.（92，3

分）已知P(A)?P(B)?P(C)?1，P(AB)?0，4P(AC)?P(BC)?1，则事件A，B，C全不发生的概率为 16解 从P(AB)?0可知，P(ABC)?0.

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第8页 (共101页)

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?111115???0???0?. 44416168

25.（93，3分）一批产品共有10件正品和两件次品，任意抽取两次，每次抽一件，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为

解 设事件Bi?“第i次抽出次品”，i?1,2. 则P(B1)?2/12, P(B1)?10/12，

P(B2|B1)?1/11,P(B2|B1)?2/11.应用全概率公式

P(B2)?P(B1)P(B2|B1)?P(B1)P(B2|B1)

?

211021????. 12111211626.（94，3分）已知A，B两个事件满足条件P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)?

解 P(AB)?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB).因P(AB)?P(AB)，故有

P(A)?P(B)?1,P(B)?1?P(A)?1?p.

27.（06，4分）设A，B为随机事件，且P(B)?0，P(A|B)?1，则必有（ ） A．P(A?B)?P(A) B．P(A?B)?P(B) C．P(A?B)?P(A) D．P(A?B)?P(B)

解 选（C）

28.（05，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，2，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y?2)? 解 填

13. 48