备考中考数学专题复习水平测试题及答案解析（经典珍藏版）：16 菱形、矩形、正方形

【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．

6．（2019?达州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点

C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：

①OA＝BC＝2；

②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7； ③在运动过程中，∠CDP是一个定值；

④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（其中正确结论的个数是（ ）

，0）．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【点拨】①根据矩形的性质即可得到OA＝BC＝2；故①正确；

②由点D为OA的中点，得到ODOA

，根据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2

＝22+（）2＝7，故②正确；

③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到BE

PE

a，求得CE＝BC﹣BE＝2

a

（2﹣a），根据相似

三角形的性质得到FD，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°，故③正确；

④当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到ODOC，Ⅱ、OP＝OD，

根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△

ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④错误．

【解析】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），

∴OA＝BC＝2；故①正确；

②∵点D为OA的中点，

∴ODOA，

∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；

③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E， ∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形， ∴EF＝OC＝2，

设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，

在Rt△BEP中，tan∠CBO，

∴BEPEa，

∴CE＝BC﹣BE＝2∵PD⊥PC，

∴∠CPE+∠FPD＝90°， ∵∠CPE+∠PCE＝90°， ∴∠FPD＝∠ECP， ∵∠CEP＝∠PFD＝90°， ∴△CEP∽△PFD，

a（2﹣a），

∴，

∴tan∠PDC

∴∠PDC＝60°，故③正确；

，

④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，

∴OA＝2，AB＝2，

∵tan∠AOB∴∠AOB＝30°，

，

当△ODP为等腰三角形时，

Ⅰ、OD＝PD，

∴∠DOP＝∠DPO＝30°， ∴∠ODP＝120°， ∴∠ODC＝60°，

∴ODOC，

Ⅱ、当D在x轴的正半轴上时，OP＝OD， ∴∠ODP＝∠OPD＝75°， ∵∠COD＝∠CPD＝90°，

∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去； 当D在x轴的负半轴上时，OP′＝OD′， ∵∠AOB＝30°， ∴∠D′OP′＝150°， ∵∠CP′D′＝90°， ∴∠CP′O＝105°， ∵∠COP′＝60°， ∴∠OCP＝15°， ∴∠BCP′＝75°，

∴∠CP′B＝180°﹣75°﹣30°＝75°，

∴BC＝BP′＝2，