湖南师大附中2020-2021学年高三上学期10月第二次月考数学试题

14．已知函数f(x)?lnx?ax2，若曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线与直线2x?y?1?0平行，则xa?_____．

y2x215．过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A,B两点，若以AB为直

ab径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为__________．

?(x?1)ex,x1,?16．已知函数f(x)??lnx其中e为自然对数的底数．若函数g(x)?f(x)?kx有3个不同的

,x?1.??x零点，则实数k的取值范围是_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）

22在①(a?b)?c?3ab，②a?3csinA?acosC，③(2a?b)sinA?(2b?a)?sinB?2csinC，这

三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，

c?3，而且_____．

（1）求?C；

（2）求ABC周长的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分） 如图1，在ABC中，AB?2BC?22,?ABC?3?，D为AC的中点，将ABD沿BD折起，得4到如图2所示的三棱锥P?BCD，二面角P?BD?C为直二面角．

（1）求证：平面PBC?平面PBD；

（2）设E为PC的中点，CF?3FB，求二面角C?DE?F的余弦值． 19．（本小题满分12分）

已知各项均为整数的数列?an?满足a3??1,a7?4，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．

（1）求数列?an?的通项公式；

（2）求出所有的正整数m，使得am?am?1?am?2?amam?1am?2． 20．（本小题满分12分）

设函数f(x)?ae?cosx，其中a?R． （1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?2；

（2）若f(x)在区间[0,?]内有两个不同的零点，求a的取值范围． 21．（本小题满分12分）

现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（3）用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记??|X?Y|，求随机变量?的分布列与数学期望E?．

22．（本小题满分12分）

已知点P是圆Q:(x?2)?y?32上任意一点，定点R(2,0)，线段PR的垂直平分线l与半径PQ相交

22x

于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为?． （1）求点M的轨迹?的方程；

x2y2??1（顶点除外）上运动，过点N，R的直线与曲线?相交于A,B，过点（2）若点N在双曲线42N,Q的直线与曲线相?交于C,D，试探究|AB|?|CD|是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为

定值，请说明理由．

炎德·英才大联考湖南师大附中2021届高三月考试卷（二）

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C

1?i(1?i)2?2i????i，所以选C． 2．C 【解析】因为z?1?i(1?i)(1?i)24．A 【解析】将一个单位圆等分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2?，因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，所以180?1?1?1?sin2??90sin2???，所以2sin2???90，所以选A．

5．D 【解析】第一个因式取x，第二个因式取

521141?C(?1)?5，第一个因式取2，第二个因式得：52x5取(?1)得：2?(?1)??2，展开式的常数项是5?(?2)?3．

6．C 【解析】由算筹的定义，得示

，故选C．

，所以8771用算筹应表

7．B 【解析】①“a?b”是“ac?bc”的充要条件；错误，当c?0时不成立；②“a?5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；成立；③“a?b”是“a?b”的充分条件，错误，当

22a??2,b??3时，不成立；④“a?5”是“a?3”的必要条件，成立，选B．

8．B 【解析】取AD的中点E，连接PE,PAD中，?APD?120?,PA?PD?2∴PE?1，

AD?23，设ABCD的中心为O?，球心为O，则O?B?1BD?2，设O到平面ABCD的距离为d，222222则R?d?2?2?(2?d)，∴d?1,R?5，∴四棱锥P?ABCD的外接球的体积为

43205?R??．故选：B． 33

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．ABD 【解析】对于A，甲校抽取110?12001000?60人，乙校抽取110??50人，故x?10，220022001520?25%，乙校优秀率为?40%．故B正确；对于6050．

y?7；故A正确；对于B，估计甲校优秀率为

D，甲校平均成绩109.5，乙校平均成绩114.6，故D正确10．BD 【解析】由图易得点C的横坐标为

?，所以f(x)的周期T??，所以??2，又3????????2??,0?成中心对f????0，所以??，因此f(x)?Asin?2x??．函数f(x)的图象关于点??3363??????3?35??5?????A??????，∴A?称，若圆半径为，则，函数f(x)的解折式为

6212?12??3?f(x)?3????sin?2x??故选BD． 63??2211．AC 【解析】取C1D1中点M，CC1中点N，连接B1M,B1N,MN，则易证得B1N//A1E，

MN//A1B，从而平面B1MN//面A1BE，所以点F的运动轨迹为线段MN．取F为MN的中点，因为B1MN是等腰三角形，所以B1F?MN，又因为MN//CD1，所以B1F?CD1，故A正确；设正方体