2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业二十五3.7应用举例理

E地,飞机由于天气原因按命令改飞C地,已知AD=600 km,CD=1 200 km,BC=500 km,且∠ADC=30°,∠

BCD=113°.问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时E地离C地的距离是多

少?

【解题指南】在△ACD中使用余弦定理得出AC及∠ACD,在△ABC中使用余弦定理得出AB及∠CAE,再在△ACE中使用余弦定理得出CE及∠AEC. 【解析】在△ACD中由余弦定理,得:

AC=(600)+1 200-2×600×1 200×

222

所以AC=600,则CD=AD+AC,

即△ACD是直角三角形,且∠ACD=60°, 又∠BCD=113°,则∠ACB=53°,

222

=360 000,

因为tan 37°=,所以cos 53°=sin 37°=.

在△ABC中,由余弦定理,得:AB=600+500-2×600×500×=500, 则AB=500,

又BC=500,则△ABC是等腰三角形,

2222

且∠BAC=53°,由已知有AE=600×在△ACE中,由余弦定理,有

=360,

CE=

2

2

2

=480,

又AC=AE+CE,则∠AEC=90°.

由飞机出发时的方位角为60°,则飞机由E地改飞C地的方位角为:90°+60°=150°. 答:收到命令时飞机应该沿方位角150°的航向飞行,E地离C地480 km.

1.(5分)如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发,沿北偏东60°方向进行海上巡逻,当航行半小时到达B处时,发现北偏西45°方向有一艘船C,若船C位于A的北偏东30°方向上,则缉私艇所在的B处与船C的距离是 ( )

A.5(

+

)km B.5(

-)km

C.10(-)km D.10(+)km

【解析】选C.由题意知∠BAC=60°-30°=30°,∠CBA=30°+45°=75°,所以

∠ACB=180°-30°-75°=75°,故AC=AB,因为AB=40×=20,所以AC=AB=20.在 △ABC中,由余弦定理得:BC=AC+AB-2AC·ABcos∠CAB=400+400-2×20× 20cos 30°=400(2-),故BC=

=

=10(

-).

2

2

2

2.(5分)(2018·广州模拟)如图,在海岸线上相距2千米的A,C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向,

在C的北偏西-α方向,且cos α=,则B,C之间的距离是 ( )

A.30C.12

千米 千米

B.30千米 D.12千米

,sin∠BAC

【解析】选D.依题意得,AC=2

=sin=cos α=,

sin B=sin=cos 2α=2cosα-1=,

2

在△ABC中,由正弦定理得,BC===12, 则B与C之间的距离是12千米.

【变式备选】(2018·长沙模拟)地面上有两座塔AB,CD,相距120米,一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍,在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为 ( )

A.50米,100米 B.40米,90米 C.40米,50米 D.30米,40米

【解析】选B.设高塔高H,矮塔高h,在矮塔下望高塔仰角为α,在O点望高塔仰角为β.

分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍,所以在高塔下望矮塔仰角为,

即tan α=,tan=,

根据倍角公式有=①,

在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔仰角为-β,

即tan β=,tan=,

根据诱导公式有=②,

联立①②得H=90,h=40.

即两座塔的高度为40米,90米.

3.(5分)(2018·宜昌模拟)如图所示,在海岛A上有一座海拔

千米的山峰,山顶上设有一座观察站P,一

艘轮船沿一固定方向匀速航行,上午10:00时,测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处,到10:10时,又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处,则该船的航行速度为________ km/h.

【解题指南】在Rt△PAB,Rt△PAC中确定AB,AC的长,进而求得∠CAB的大小,在△ABC中,利用余弦定理求得BC,用路程除以时间即为船的速度. 【解析】在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=在△ACB中,∠CAB=20°+40°=60°,

,所以AB=3.在Rt△PAC中,∠APC =30°,所以AC=1.

所以BC==.

则船的航行速度为答案:6

÷=6(km/h).

4.(12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点

海里的C点的救援

北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?

【解析】由题意知AB=5(3+

)海里,因为∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB =90°-45°=45°,所以∠

ADB=180°-(45°+30°)=105°.

在△DAB中,由正弦定理得BD==

==10

(海里).

=

又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20海里,在△DBC中,由余弦定理得

CD=BD+BC-2BD·BC·cos∠DBC=300+1 200-2×10

222

×20×=900,所以CD=30(海里),所以需要的时

间t==1(小时).即该救援船到达D点需要1小时.

5.(13分)如图,某人位于塔AB的正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后到达D处,在点D处望见塔的底端B在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°. (1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟. (2)求塔的高AB.

【解析】(1)依题意知,在△DBC中,∠BCD=30°, ∠DBC=180°-∠DBF=180°-45°=135°,

CD=6 000×=100(米),∠BDC=180°-135°-30°=15°,

由正弦定理得=,