2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业二十五3.7应用举例理

2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业二十五

3.7应用举例理

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ( ) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80°

【解析】选D.由题意可知∠ACD=40°,∠DCB=60°,CA=CB,所以∠CAB=∠CBA =40°,又因为∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,∠DBA=10°,故灯塔A在B的南偏西80°.

2.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为

( )

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

【解析】选D.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A,B两点间的距离,对于②直接利用余弦定理即可确定A,B两点间的距离.

3.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是 ( ) A.5 km B.10 km C.5 km D.5 km

【解析】选C.作出示意图(如图),点A为该船开始的位置,点B为灯塔的位置,点C为该船后来的位置,所以在△ABC中,有∠BAC =60°-30°=30°,B=120°,AC=15,

由正弦定理,得=,

即BC==5,即这时船与灯塔的距离是5 km.

【变式备选】为绘制海底地貌图,测量海底两点C,D之间的距离,海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,C,D在同一个铅垂平面内,海底探测仪测得∠BAC=30°,∠DAC=45°,∠ABD=45°,∠DBC=75°,A,B两点的距离为C,D之间的距离为

A.

海里

B.2海里

( )

海里,则

C.海里 D.海里 【解析】选A.∠ADB=180°-30°-45°-45°=60°,

在△ABD中,由正弦定理,得BD=

=,

在△ABC中,∠ACB=180°-30°-45°-75°=30°, 所以BC=BA=

,

2

2

2

在△BCD中,由余弦定理,得CD=BC+BD-2BC·BDcos∠DBC

=3+-2×××=5,所以CD=. 4.(2018·深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为 ( ) 导学号12560533

A.m B.m

C.m D.【解析】选A.如图所示.

m

在Rt△ACD中可得CD==BE,

在△ABE中,由正弦定理得=?AB=,所以DE=BC=200-=(m).

5.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的持续时间为 ( ) A.0.5小时 B.1小时 C.1.5小时 D.2小时

【解析】选B.根据题意画出相应的图形,如图所示.BE=BF=30 km,△ABD为等腰直角三角形且AB=40 km,由勾股定理得AD=BD= 20BED中,由勾股定理得ED=

km,由BD⊥AD,可得ED=DF,在Rt△=10 km,所以EF=2ED=20 km,因此B市

处于危险区内的时间为20÷20=1(h). 二、填空题(每小题5分,共15分)

6.如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距8mile.此船的航速是______ n mile/h. 【解析】设航速为v n mile/h,在△ABS中,

n

AB=v,BS=8 n mile,∠BSA=45°,由正弦定理,得=,所以v=32.

答案:32 7.(2018·潍坊模拟)如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是________米.

【解析】在△BCD中,由正弦定理得,=,解得BC=10米,

所以在Rt△ABC中,tan 60°=所以塔AB的高是10答案:10

米.

,解得AB=10米,

8.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.

【解题指南】连接OC,在△OCD中,借助余弦定理求半径OC.

【解析】连接OC,由题意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°,在△COD中,由余弦定理得OC=CD+OD-2CD·OD·cos 60°,即OC=50答案:50

2

2

2

.

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为多少米?(取

=1.4,

=1.7)

【解析】如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知 ∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420 =21 000(m).

又在△ABC中,=,

所以BC==10 500(

-

×sin 15° )(m).

因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC

=10 500(-)×=10 500(-1) =7 350(m).

故山顶的海拔高度为10 000-7 350=2 650(m).

10.如图,一架飞机以600 km/h的速度,沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行,飞行了36 min后到达