2020-2021学年山东省济南市高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题及答案解析

y1?y2?6m,y1y2??6a,-----------------------------------------------------------------6分

由对称性,不妨设m?0,

(i)a?0时,?y1y2??6a?0, ?y1，y2同号, 又t?1111 ???22|AM||AN|1?m|y1|1?m|y2|1(y1?y2)2136m211?t???(1?)

1?m2(y1y2)21?m236a2a21?m22不论a取何值,t均与m有关,即a?0时A不是“稳定点”; -------------------------9分 (ii) a?0时, ?y1y2??6a?0, ?y1，y2异号, 又t?1111 ???22|AM||AN|1?m|y1|1?m|y2|1(y1-y2)21(y1?y2)2?4y1y2 ?t????22221?m(y1y2)1?m(y1y2)22a?1136m?24a13 ???2(1?) 1?m236a2a1?m22所以,仅当

32a?1?0,即a?时,t与m无关,此时A即抛物线C的焦点,即抛物线C对称轴上仅有焦点

23这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13分

（21）解：（I）由题意g(x)的定义域为(0,??)

g?(x)?-2aax?2 ???x2xx2'（i）若a?0，则g(x)?0在(0,??)上恒成立，(0,??)为其单调递减区间； （ii）若a?0，则由g(x)?0得x??'2， a22x?(0,?)时，g'(x)?0，x?(?,??)时，g'(x)?0，

aa所以(0,?)为其单调递减区间；(?（II）?f(x)?x?g(x)

22a2,??)为其单调递增区间；-----------------------4分 a

所以f(x)的定义域也为(0,??)，且

ax?22x3?ax?2f(x)?(x)?g(x)?2x?? 22xx'2''令h(x)?2x?ax?2,x?[0,??) (*)

3则

h'(x)?6x2-a

(**)----------------------------------------------------------------------------6分

a?0时, h'(x)?0恒成立,所以h(x)为[0,??)上的单调递增函数，又h(0)??2?0,h(1)?-a?0，

所以在区间(0,1)内h(x)至少存在一个变号零点x0，且x0也是f(x)的变号零点，此时f(x)在区间(0,1)'内有极值. ----------------------------------------8分

a?0时h(x)?2(x3?1)?ax?0,x?(0,1),即在区间(0,1)上f'(x)?0恒成立,此时, f(x)无极值.

综上所述,若f(x)在区间(0,1)内有极值，则a的取值范围为(??,0). --------------9分 (III) ?a?0,由（II）且f(1)?3知x?(0,1]时f(x)?0,?x0?1.

又由(*)及(**)式知f?(x)在区间(1,??)上只有一个极小值点,记为x1, 且x?(1,x1)时f(x)单调递减,

x?(x1,??)时f(x)单调递增,由题意x1即为x0,

?f(x0)?0-------------------------------------------------------------------------------???f?(x0)?0----------11分

?22?x??alnx0?0??0x0

2?2x0?ax0?2?0?消

去

a,

得

2lnx0?1?3-------------------------------------------------------------------12分 3x0?1a?0时令t1(x)?2lnx(x?1),t2(x)?1?3(x?0), 3x?1则在区间(1,??)上为t1(x)单调递增函数, t2(x)为单调递减函数, 且t1(2)?2ln2?2?0.7?710??t2(2) 57t1(3)?2ln3?2?1??2?x0?3

3?t2(3) 26?[x0]?2------------------------------------------------------------------------------------------14分