非常实用的人教版高中物理必修二教案（第五章）《曲线运动》

④讨论：如果A、B两点之间是四分之一个圆周，则?v?2v，v为匀速圆周运动的线速度的大小，

?v的方向与A、B两点线速度之间的夹角都是45°；如果A、B两点之间是半个圆周，则?v?2v，方

向与末速度的方向相同；如果A、B两点之间是整数个圆周，则?v?0。

二、匀速圆周运动加速度的方向

由加速度定义可得a??v?t，是质点从A运动到B的平均加速度，其方向就是?v的方向，由图丙知

它并不与圆的半径平行。

但当?t很小很小时，A、B两点非常接近，vA和vB也就非常接近，如图所示。由于vA和vB的长度相等，它们与?v组成等腰三角形，当?t很小很小时，?v也就与vA或vB垂直，即与半径平行，或说?v指向圆心了。而此时的加速度即为圆周运动的瞬时加速度。 三、向心加速度

1.定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心。这个加速度称为向心加速度。 2.大小：

对匀速圆周运动，vA=vB=v，则Δv=2vsin(θ/2) 当θ→0时，sinθ=θ，所以Δv=vθ ∵θ=ωΔt ∴Δv=vωΔt

a??v?t?v??t?t?v? 又∵v=rω ∴a=rω=

2

vB θ v2Δv

vA r=vω

3.方向：总是沿着圆周运动半径指向圆心，始终与线速度方向垂直。

加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。匀速圆周运动物体的线速度大小没有变化，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量。

4．意义：是用来描述物体做圆周运动的线速度方向变化快慢的物理量。 [讨论]匀速圆周运动是匀速运动吗？是匀变速运动吗？

5.匀速圆周运动是加速度变化的变加速曲线运动(非匀变速曲线运动)。

6．向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动。对于变速圆周运动，可以用公式求质点在圆周上某点的向心加速度瞬时值，其中ω或v应取该点的线速度和角速度的瞬时值。

7.向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度，对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动。如图，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度。

[例2]关于质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( ) A．线速度大，加速度一定大。 B．角速度大，加速度一定大。 C．周期大，加速度一定大。 D．加速度大，速度一定变化快。

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[例3]由于地球的自转，地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以（ ） A．地球表面各处具有相同大小的线速度。 B．地球表面各处具有相同大小的角速度。

C．地球表面各处具有相同大小的向心加速度。

D．地球表面各处的向心加速度方向都指向地球的球心。 [例4]如图所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支。由图可知

A．A质点运动的线速度大小不变。 B．A质点运动的角速度大小不变。 C．B质点运动的角速度大小不变。 D．B质点运动的线速度大小不变。

[例5]一质点做半径为R的匀速圆周运动，它的加速度、角速度、线速度、周期分别为a、ω、v、T，下列关系中正确的有( )

A．??ar向心加速度随半( )

B.v?ra C.a?v? D.T?2?ra

[例6]如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则( )

A.a点与b点的线速度大小相等。 B.a点与c点的角速度大小相等。

C.a点与d点的向心加速度大小相等。 D.a、b、c、d四点，加速度最小的是b点。

[例7]如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动。A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB。当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、边缘的向心加速度大小之比分别为多少?

[例8]如图所示，o1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1。O2为从动轮的轴心，轮半径为r2。r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2=2r1，r3=1.5r1，A、B、C分别是3个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(皮带不打滑) ( )

A．1:2:3 B．2:4:3 C．8:4:3 D．3:6:2

[例9] 关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ BD ） A.它们的方向都沿半径指向地心 B.它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴 C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小

三轮

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5.6 向心力

教学目标

理解向心力的概念，知道向心力大小与哪些因素有关.理解公式的确切含义，并能用来计算.会根据向心力和牛顿第二定律的知识分析和讨论与圆周运动相关的物理现象.

教学重点 向心力概念的建立及计算公式的得出及应用. 重点难点 向心力的来源. 教学过程

[复习引入]

1.向心加速度：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度. 2.表达式：an=

v2r=rω2.

3.牛顿第二定律：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同.表达式：F=ma.

观察下面几幅图片，并根据图做水流星实验，让学生自己体验实验中力的变化，考虑一下为什么做圆周运动的物体没有沿着直线飞出去而是沿着一个圆周运动。

一、向心力：做匀速圆周运动物体的合外力指向圆心，叫向心力

通过刚才的学习我们知道了向心力和向心加速度具有相同的方向，都指向圆心，而且物体是在向心力的作用下做圆周运动，因此我们根据牛顿第二定律可知向心力的大小为：

F向=m a向=m[实验探究]

1.演示实验(验证上面的推导式)：研究向心力跟物体质量m、轨道半径r、角速度ω的定量关系. 实验装置：向心力演示器

①向心力与质量的关系：ω、r一定，取两球使mA=2mB,观察：FA=2FB,结论：向心力F∝m. ②向心力与半径的关系：m、ω一定，取两球使rA=2rB,观察：FA=2FB,结论：向心力F∝r. ③向心力与角速度的关系：m、r一定，使ωA=2ωB,观察：FA=4FB,结论：向心力F∝ω. 归纳总结：1.线速度大小一定的物体，向心力与半径成反比；

2.角速度一定的物体，向心力与半径成正比。

2.实验：用圆锥摆粗略验证向心力表达式

原理：如图所示，让细绳摆动带动小球做圆周运动，逐渐增大角速度直到绳刚好拉直，用秒表测出n转的时间t，计算出周期T，根据公式计算出小球的角速度ω.用刻度尺测出圆半径r和小球距悬点的竖直高度h,计算出角θ的正切值.向心力F=mgtanθ,测出数值验证公式mgtanθ=mrω2. 二、课堂训练

1.下列关于向心力的说法中，正确的是（ ）

A.物体由于做圆周运动产生了一个向心力

B.做匀速圆周运动的物体，其向心力为其所受的合外力

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2

v2R=m rω2=mr(

2?T)2.

C.做匀速圆周运动的物体，其向心力不变 D.向心加速度决定向心力的大小

2.有长短不同、材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么（ ）

A.两个小球以相同的线速度运动时，长绳易断 B.两个小球以相同的角速度运动时，长绳易断 C.两个球以相同的周期运动时，短绳易断 D.不论如何，短绳易断

3.A、B两质点均做匀速圆周运动，mA∶mB=RA∶RB=1∶2，当A转60转时，B正好转45转，则两质点所受向心力之比为多少？

参考答案：1.B 2.B 3. 4：9 [讨论交流]

1.向心力是根据效果来命名的

2.平行于速度方向的力只改变速度的大小（理解反向的情形），垂直于速度方向的力只改变速度的大小。匀速圆周运动的速度大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动合外力的方向始终与速度方向垂直，指向圆心。

三、变速圆周运动和一般曲线运动

如果要使物体做圆周运动的速度发生变化，我们对物体施加的力就不能保持始终指向圆心，而是与半径方向有一个角度。根据力F产生的效果可以把力F分解成两个分力：一个是指向圆心的产生向心加速度的向心力，另一个是沿圆周的切线方向的分力，这个力的方向与速度方向共线，使物体的速度不断变化。也就是说变速圆周运动既有指向圆心的向心加速度，还有沿圆周切线方向的加速度，称为切向加速度。

对于物体的运动轨迹不是直线也不是圆周的曲线运动，尽管曲线的各个地方的弯曲程度不同，我们在研究时可以把这条曲线分成许多极短的小段，每一小段可以看作是一段圆弧。这些圆弧的弯曲程度不同，可以用对应的半径来表示，称为曲率半径。这样在分析质点运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理问题了。 四、课堂训练

1.如图所示，在光滑的水平面上钉两个钉子A和B，相距20 cm.用一根长1 m的细绳，一端系一个质量为0.5 kg的小球，另一端固定在钉子A上。开始时球与钉子A、B在一条直线上，然后使小球以2 m/s的速率开始在水平面内做匀速圆周运动.若绳子能承受的最大拉力为4 N，那么从开始到绳断所经历的时间是多少?

解析：球每转半圈，绳子就碰到不作为圆心的另一个钉子，然后再以这个钉子为圆心做匀速圆周运动，运动的半径就减小0.2 m，但速度大小不变（因为绳对球的拉力只改变球的速度方向）。根据F=mv2/r知，绳每一次碰钉子后，绳的拉力（向心力）都要增大，当绳的拉力增大到Fmax=4 N时，球做匀速圆周运动的半径为rmin，则有

Fmax=mv2/rmin rmin=mv2/Fmax=（0.5×22/4）m=0.5 m.

绳第二次碰钉子后半径减为0.6 m，第三次碰钉子后半径减为0.4 m.所以绳子在第三次碰到钉子后被

拉断，在这之前球运动的时间为：

t=t1+t2+t3=πl/v+π（l-0.2）/v+π（l-0.4）/v=（3l-0.6）·π/v=（3×1-0.6）×3.14/2 s=3.768 s.

说明：需注意绳碰钉子的瞬间，绳的拉力和速度方向仍然垂直，球的速度大小不变，而绳的拉力随半径的突然减小而突然增大. 2.如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动?

解析：由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心或背离圆心。

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