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【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式．易错的地方有第（1）题对点D.C.B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明．

6. （2019?湖南岳阳?6分）如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为AD.CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．

【分析】由菱形的性质得出AD＝CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， 在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠2．

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

7. （2019?湖南岳阳?10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E.F分别在边AD.BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E.F重合），过点P分别作直线BE.BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN． （1）如图1，求证：BE＝BF；

（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；

（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．

①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）

，

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【分析】（1）证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）． （2）如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形．利用面积法证明PM+PN＝EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题．

（3）①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，可得?BF?EH，由BE＝BF，推出PM﹣PN＝EH＝

BE?PM﹣?BF?PN＝

，由此即可解决问题．

．

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，

由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF．

（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．

∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2， ∴AD＝BC＝7，AE＝2，

在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2， ∴AB＝

＝

，

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∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴

?BF?EH＝

?BE?PM+

?BF?PN，

∵BE＝BF， ∴PM+PN＝EH＝

，

．

∵四边形PMQN是平行四边形，

∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2

（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．

∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝

，

∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF， ∴

BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH，

∵BE＝BF， ∴PM﹣PN＝EH＝

，

∵四边形PMQN是平行四边形， ∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝

．

．

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．

8.（2019?浙江衢州?6分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.

【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形，

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∴AB=AD，∠B=∠D， ∵BE=DF ∴△ABE≌△ADF． ∴AE=CF

【考点】菱形的性质

【解析】【分析】由菱形性质得AB=AD，∠B=∠D，根据全等三角形判定SAS可得△ABE≌△ADF，由全等三角形性质即可得证.

9．（2019?浙江嘉兴?6分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．

【分析】根据SAS即可证明△ABE≌△CDF可得AE＝CF． 【解答】解：添加的条件是BE＝DF（答案不唯一）． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠BDC， 又∵BE＝DF（添加）， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF．

【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．

10.（2019?浙江宁波?10分）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，

H在菱形ABCD的对角线BD上．

（1）求证：BG＝DE；

（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形， ∴EH＝FG，EH∥FG， ∴∠GFH＝∠EHF，

∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，

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