2020中考数学矩形菱形与正方形专题复习（含解析）

13. （2019?江苏苏州?3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC?4，BD?16，将

VABO沿点A到点C的方向平移，得到VA?B?C?，当点A?与点C重合时，点A与点B?之间的距离为

（） A．6

AB．8

DOC．10 D．12

BC（A')O'B'

【分析】考察菱形的性质，勾股定理，中等偏易题型

【解答】由菱形的性质得AO?OC?CO??2，BO?OD?B?O??8

?AOB??AO?B??90o ?VAO?B?为直角三角形

?AB??AO?2?B?O?2?62?82?10

故选C

14. （2019?湖南株洲?3分）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（ ） A．对角线垂直且相等 B．四边都互相垂直 C．四个角都相等

D．是轴对称图形，但不是中心对称图形 【分析】直接利用矩形的性质分析得出答案．

【解答】解：A.矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误； B.矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误； C.矩形的四个角都相等，正确；

D.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C．

【点评】此题主要考查了矩形的性质，正确把握矩形的性质是解题关键．

15. （2019?山东省德州市 ?4分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝论：①DE＝AF；②AN＝正确结论的序号是（ ）

BC，连接CM．有如下结

AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有

9

A．①②

B．①③

C．①②③

D．②③④

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质 【分析】①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．

②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可． ③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝证明MH＝CH即可解决问题．

④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出

＝

＝

，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积

a，通过计算

为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°， ∵CE⊥DF，

∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°， ∴∠ADF＝∠DCE， 在△ADF与△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（ASA）， ∴DE＝AF；故①正确； ∵AB∥CD， ∴

＝

，

∵AF：FB＝1：2，

∴AF：AB＝AF：CD＝1：3， ∴∴

＝＝

， ，

∵AC＝∴∴AN＝

AB，

＝

，

AB；故②正确；

a，

作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝

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由△CMD∽△CDE，可得CM＝由△GHC∽△CDE，可得CH＝∴CH＝MH＝∵GH⊥CM， ∴GM＝GC， ∴∠GMH＝∠GCH，

a， a，

CM，

∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°， ∴∠FEG＝∠DCE， ∵∠ADF＝∠DCE，

∴∠ADF＝∠GMF；故③正确， 设△ANF的面积为m， ∵AF∥CD， ∴

＝

＝

，△AFN∽△CDN，

∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m， ∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m， ∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11，故④错误， 故选：C．

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二.填空题

1. (2019安徽)（4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）

A．0

B．4

C．6

D．8

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【分析】作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，可得点N到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．

【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，

∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12， ∴EC＝8，FC＝4， ∵点M与点F关于BC对称

∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45° ∴∠ACM＝90° ∴EM＝

＝4

＜9

则在线段BC存在点N到点E和点F的距离之和最小为4同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9． 即共有8个点P满足PE+PF＝9， 故选：D．

∴在线段BC上点N的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，

【点评】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点N使点N到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．

2.（2019?浙江金华?3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（ ）

A. ∠BDC=∠α B. BC=m·tanα C. AO=

【答案】 C

【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：A.∵矩形ABCD， ∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°， 又∵BC=CB，

∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠BDC=∠BAC=α， 故正确，A不符合题意； B.∵矩形ABCD，

D. BD=

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