电磁场与电磁波问题详解第四版谢处方

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第一章习题解答

1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3

B??ey4?ez

C?ex5?ez2

求：（1）aA；（2）A?B；（3）AB；（4）?AB；（5）A在B上的分量；（6）A?C；

（7）A(B?C)和(A?B)C；（8）(A?B)?C和A?(B?C)。

解 （1）aA?ex?ey2?ez3A123 ??ex?ey?ez222A1414141?2?(?3)（2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?－11

AB?111111???，得 ?AB?cos?1(?)?135.5 AB14?17238238AB11??（5）A在B上的分量 AB?Acos?AB? B17exeyez（4）由 cos?AB?（6）A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 0?2ex5exeyez1?ex8?ey5?ez20 ez5（7）由于B?C?0?40?2eyA?B?12?3??ex10?ey1?ez4

0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)C?(?ex10?ey1?ez4)(ex5?ez2)??42

ex5exey5eyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5

0?2ez202?3?ex55?ey44?ez11

A?(B?C)?18大全

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1.2 三角形的三个顶点为P、P2(4,1,?3)和P。 1(0,1,?2)3(6,2,5) （1）判断?PP是否为一直角三角形； 12P3 （2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点P、P2(4,1,?3)和P的位置矢量分别为 1(0,1,?2)3(6,2,5) r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez， R23?r3?r2?ex2?ey?ez8，

R31?r1?r3??ex6?ey?ez7

由此可见

R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0

故?PP为一直角三角形。 12P3111R12?R23?R12?R23?17?69?17.13 222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。

解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3，

（2）三角形的面积 S?则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为

?x?cos?1(exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35?3)?120.47

RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73

RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和A在

?y?cos?1(eyRP?P)?cos?1(B上的分量。

解 A与B之间的夹角为 ?AB?cos(?1AB?31)?cos?1()?131 AB29?77A在B上的分量为 AB?A上的分量。

B?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在C?ex?ey?ezex解 A?B?2ey3ez?4??ex13?ey22?ez10 1?6?4所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?大全

(A?B)C25????14.43

C3标准文案

1.6 证明：如果AB?AC和A?B?A?C，则B?C； 解 由A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即

(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C

由于AB?AC，于是得到 (AA)B?(AA)C 故 B?C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?AX而P?A?X，p和P已知，试求X。

解 由P?A?X，有

A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X 故得 X?（2）球坐标中的坐标。

pA?A?P AA2?1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,（1）直角坐标中的坐标；,3)定出，求该点在：3解 （1）在直角坐标系中 x?4cos(2?3)??2、y?4sin(2?3)?23、z?3

故该点的直角坐标为(?2,23,3)。

（2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1、??2?3?120 故该点的球坐标为(5,53.1,120)

25， r2（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex；

1.9 用球坐标表示的场E?er（2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故

E?er251? 2r21?332

Ex?exE?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以

e345?ee2525r?xy?z E???23rr102故E与B构成的夹角为 ?EB?cos?1(EB19(102))?cos?1(?)?153.6 EB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为

cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)

解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1

大全

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R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2

得到 cos??R1R2?

R1R2sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2

sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?

1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：

2??(e3sin?)dS的值。

rS2解

?(e3sin?)dS??(e3sin?)edS??d??3sin??5rrrSS00?sin?d??75?2

1.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验证散度定理。

解 在圆柱坐标系中 ?A?42?1??(rr2)?(2z)?3r?2 r?r?z50所以 ?Ad??dzd?(3r?2)rdr?1200?

?00????又

?SAdS??(err2?ez2z)(erdSr?e?dS??ezdSz)?

S42?52?2

??500?5d?dz???2?4rdrd??1200?

00故有 ?Ad??1200?????AdS

S1.13 求（1）矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度；（2）求?A对中心在原点的

一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。

222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 （1）?A????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z（2）?A对中心在原点的一个单位立方体的积分为

121212???Ad???12?12?12???(2x?2x2y?72x2y2z2)dxdydz?12121 24 （3）A对此立方体表面的积分

?S11AdS???()2dydz???(?)2dydz?

22?12?12?12?12121212122121212122 2x()dxdz?2x(?)dxdz? ????22?12?12?12?121313122 24xy()dxdy?24xy(?)dxdy?????2224?12?12?12?122212121212大全