物理学答案（第五版，上册）马文蔚

12EOP??EPQ?EQO?ωB?PQ?

2由上可知，导体棒OP 旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP 等效．后者是垂直切割的情况．

8 －13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速v?2.0m?s?1平行于一长直导线移动，此导线通有电流I ＝40A．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？

分析 本题可用两种方法求解．（1） 用公式E???v?B??dl求解，建立图（a）所示的

l坐标系，所取导体元dl?dx，该处的磁感强度B?μ0I．（2） 用法拉第电磁感应定律求2πx解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t，杆AB 距导轨下端CD的距离为y，先用公式Φ?B?dS求得穿

S?过该回路的磁通量，再代入公式E??势．

dΦ，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动dt解1 根据分析，杆中的感应电动势为

EAB???v?B??dl?dxl???0.1mAB1.1mμ0μIvvdx??0ln11??3.84?10?5V式中负号表示2πx2π电动势方向由B 指向A，故点A 电势较高．

解2 设顺时针方向为回路ABCD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx、长为y 的面元ｄS，则穿过面元的磁通量为

dΦ?B?dS?穿过回路的磁通量为

μ0Iydx 2πxΦ??dΦ??Sμ0IμIyydx??0ln11

0.1m2πx2π1.1m回路的电动势为

E??dΦμIdyμIy??0ln11??0??3.84?10?5V dt2πxdt2π由于静止的形导轨上电动势为零，所以

EAB?E??3.84?10?5V

式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A，故点A 电势较高．

8 －14 如图（ａ）所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v 向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向．

分析 本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点：1．当闭合导体线框在磁场中运动时，线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和．如图（ａ）所示，导体eh 段和fg 段上的电动势为零［此两段导体上处处满足?v?B??dl?0］，因而线框中的总电动势为

E???v?B??dl???v?B??dl???v?B??dl???v?B??dl?Eef?Ehg其等效电路

efghefhg如图（ｂ）所示．

dΦ求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过线框的磁通量．为此设dtdξ时刻t 时，线框左边距导线的距离为ξ，如图（c）所示，显然ξ是时间t 的函数，且有在?v．

dt2．用公式E??求得线框在任意位置处的电动势E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得线框在题目所给位置处的电动势．

解1 根据分析，线框中的电动势为

E?Eef?Ehg

???v?B??dl???v?B??dl

efhgl2μ0Ivl2μ0Iv?dl?dl 2πd?02π?d?l1??0?μ0IvI1I2

2π?d?l1?由Eef ＞Ehg 可知，线框中的电动势方向为efgh．

解2 设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量为

Φ??相应电动势为

l10μ0Il2μ0Il2ξ?l1 dx?ln2π?x?ξ?2π?x?ξ?ξE?ξ???dΦμ0Ivl2l1 ?dt2πξ?ξ?l1?令ξ＝d，得线框在图示位置处的电动势为

E?μ0Ivl2l1

2πd?d?l1?由E ＞0 可知，线框中电动势方向为顺时针方向．

*8 －15 有一长为l，宽为b 的矩形导线框架，其质量为m，电阻为R．在t ＝0时，框架从距水平面y ＝0 的上方h 处由静止自由下落，如图所示．磁场的分布为：在y ＝0 的水平面上方没有磁场；在y ＝0 的水平面下方有磁感强度为B 的均匀磁场，B 的方向垂直纸面向里．已知框架在时刻t1 和t2 的位置如图中所示．求在下述时间内，框架的速度与时间的关系：

（1） t1 ≥t ＞0，即框架进入磁场前；（2） t2 ≥t≥t1 ，即框架进入磁场， 但尚未全部进入磁场；（3）t ＞t2 ，即框架全部进入磁场后．

分析 设线框刚进入磁场（t1 时刻）和全部进入磁场（t2 时刻）的瞬间，其速度分别为v10 和v20 ．在情况（1）和（3）中，线框中无感应电流，线框仅在重力作用下作落体运动，其速度与时间的关系分别为v＝gt（t ＜t1）和v ＝v20 ＋g（t－t2 ）（t ＞t2 ）．而在t1＜t＜t2这段时间内，线框运动较为复杂，由于穿过线框回路的磁通量变化，使得回路中有感应电流存在，从而使线框除受重力外，还受到一个向上的安培力FA ，其大小与速度有关，即

FA?FA(v)．根据牛顿运动定律，此时线框的运动微分方程为mg?FA?v??m微分方程可得t1＜t＜t2 时间内线框的速度与时间的关系式． 解 （1） 根据分析，在t?t1时间内，线框为自由落体运动，于是

dv，解此dtv1?gt?t?t1?其中t?t1时，v1?v10?2gh

（2） 线框进入磁场后，受到向上的安培力为

B2l2FA?IlB?v

R根据牛顿运动定律，可得线框运动的微分方程

B2l2dvmg?v?m

RdtB2l2令K?，整理上式并分离变量积分，有

mR