数学模型第三版 - 课后习题答案

p2Tq0t3?T2??T??b(??)?(a?bp2) ?p22282令?????0,?0, 得到最优价格为: ?p1?p2?1??T?p?a?b(q?)?0??12b?4?? ??p2?1?a?b(q0?3?T)??2b?4????在销售期T内的总销量为

Q0??(a?bp1)dt??T(a?bp2)dt?aT?2T20TbT(p1?p2) 2于是得到如下极值问题：

p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2max?(p1,p2)?(a?bp1)(??)?(a?bp2)(??)

228228s.t aT?bT(p1?p2)?Q0 2利用拉格朗日乘数法，解得：

aQ0?T?p??1b?bT?8 ?aQ0?T?p2???bbT8?即为p1,p2的最优值.

第三章3（2008年10月21日）

6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？

解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费c1＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费c2＝0.18（元）.又现在的订货周期T0＝30（天）

第一章作业解答第 9 页 共 58 页

根据不允许缺货的贮存模型：C(T)?得：C(T)?c11?c2rT?kr T22500?9T?100k T dC2500??2?9dTT250050? 93 令

dC?0 ， 解得：T*?dT*5050（即订货周期为）时，总费用将最小. 333?250050* 又C(T)??9??100k＝300＋100k

5032500 C(T0)??9?30?100k=353．33＋100k

302C(T0)－C(T*)＝（353.33＋100k）－（300＋100k）＝53．33.

350故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T*=，能节约费用约53．33元.

3 由实际意义知：当T?

《数学模型》作业解答

第四章（2008年10月28日）

1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料1千克, B原料5千克；一件乙产品用

A原料2千克, B原料4千克.现有A原料20千克, B原料70千克.甲、乙产品每件售价

分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：

max S=20x+30y

?x?2y?20? s.t. ?5x?4y?70

?x,y?0,x,y?Z?这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解

可行域为：由直线l1：x+2y=20, l2:5x+4y＝70

l2 y

以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.

第一章作业解答第 10 页 共 58 页

直线l：20x+30y=c在可行域内 l 平行移动.

易知：当l过l1与l2的交点时， l1 x S取最大值.

?x?2y?20?x?10 由? 解得?

5x?4y?70y?5?? 此时 Smax＝20?10?30?5＝350（元）

2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：

货物 甲 乙 体积 （立方米/箱） 5 4 重量 （百斤/箱） 2 5 利润 （百元/箱） 20 10 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.

解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所获利润为z.则问题的数学模型可表示为

max z?20x1?10x2

?5x1?4x2?24? st?2x1?5x2?13

?x,x?0,x,y?Z?12这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线

l1:5x1?4x2?24

l2:2x1?5x2?13 及x1?0,x2?0组成直线 l:20x1?10x2?c在此凸四边形区域内

平行移动x2 .

l1

l2

x1

l

第一章作业解答第 11 页 共 58 页

易知：当l过l1与l2的交点时，z取最大值

?5x1由??2x1?4x2?24?x1 解得 ??5x2?13?x2?4?1

zmax?20?4?10?1?90.

3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.

解：设安排生产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：

max S=3x +2y

?2x?3y?100? s.t. ?4x?2y?120

?x?6,y?12,x,y?Z?这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解

可行域为：由直线l1：2x+3y=100, l2:4x+2y＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.

直线l：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l2的交点时, S取最大值.

由??2x?3y?100 解得

?4x?2y?120第一章作业解答第 12 页 共 58 页