选修4-5不等式选讲 几何证明选讲 配套资料教师用书

选修4－5 不等式选讲

第一节 不等式的基本性质与含绝对值不等式

(见学生用书第249页)

考纲传真 内容 要求 A 不等式的基本性质 含有绝对值的 不等式的求解 B C √ √

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系 a>b?a－b>0，ab?ba.

(2)a>b，b>c?a>c；ab?a＋c>b＋c. (4)a>b，c>d?a＋c>b＋d.

(5)a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac

(6)a>b>0，c>d>0?ac>bd. (7)a>b>0?an>bn(n?N，且n>1)． nn(8)a>b>0?a>b(n?N，且n>1)． 3．含有绝对值不等式的性质

(1)|a|＋|b|≥|a＋b|，(当且仅当ab≥0时，等号成立)． (2)|a|－|b|≤|a＋b|. (3)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 4．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 |x|a a>0 {x|－a＜x＜a} {x|x＞a或x＜－a} a＝0 ? {x?R|x≠0} a<0 ? R (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：

(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：

1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac

(2)对任意实数a，b都有不等式|a|－|b|≤|a＋b|.( )

(3)|x＋a|＋|x＋b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )

(4)|f(x)|>a?f(x)>a或f(x)<－a.( )

[解析] (1)是不等式的基本性质，所以正确；(2)是含有绝对值的不等式的性质，所以正确；|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和，故(3)错；(4)中当a>0时前后才等价，故错．

[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×

2．(教材习题改编)设ab>0，下面四个不等式中，正确的是________(填序号)．

①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|； ④|a＋b|>|a|－|b|.

[解析] ∵ab＞0，即a，b同号，则|a＋b|＝|a|＋|b|， ∴①④正确，②③错误． [答案] ①④

3．已知|x－a|

4．(2014·广东高考)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________． [解析] 当x<－2时，原不等式即1－x－x－2≥5，得x≤－3，此时得到x≤－3；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋x＋2≥5，此时无解；当x>1时，原不等式即x－1＋x＋2≥5，x≥2，此时得到x≥2，

于是原不等式解集为{x|x≤－3或x≥2}．

[答案] {x|x≤－3或x≥2}

5．(2013·陕西高考)设a，b?R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x＋b|>2的解集是________．

[解析] ∵|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|a－x＋x－b|＝|a－b|>2，

∴x∈(－∞，＋∞)． [∞)

(见学生用书第250页)

考向1 含绝对值不等式的解法

【典例1】 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；

(2)如果?x?R，f(x)≥2，求a的取值范围．

[解] (1)若a＝－1时，f(x)≥3，即|x－1|＋|x＋1|≥3， 3①当x≤－1时，不等式为1－x＋[－(x＋1)]≥3，得x≤－2； ②当－1

③当x>1时，不等式为x－1＋x＋1≥3，得x≥2；

??33?

所以不等式解集为?x?x≤－2或x≥2?.

???

答案] (－∞，＋

(2)①若a＝1，f(x)＝2|x－1|不满足题设；