统计力学习题精选

由(???)2??2??2，??121211mv?mv，?2?m2v4?m2v4 22443212121?2?m???mv?mv?m?vw(v)dv?2?m??22202?kT??2??0ve324?m2v2kTdv?m2v2kT3kT 2111?m???m2v4?m2v4?m2?v4w(v)dv??m2??04442?kT?????0ve6?dv

利用I(n)????3??5215?I(4)??(?)????72 I(n?2)，则I(6)??????816??3?2111?m???m2v4?m2v4?m2?v4w(v)dv??m2??04442?kT??2??0ve6?m2v2kTdv

2152kT7215222?m???m??()?kT ?4m?2?kT?163所以

(???)2??2??2?1522922322kT?kT?kT 4423总结求能量平均值的方法有

?1?212??kT（1）利用能量概率分布w(?)d??2??d? ??e?k?T?????0?35132?32?kT13232?w(?)d??2?()??ed??2?()??kT??x2e?xdx?kT

00k?T2k?Tm?m32?2kTv22)evdv （2）利用速率概率分布w(v)dv?4?(2?kT111?m???mv2?mv2?m?v2w(v)dv?2?m??22202?kT???132??0v4e?m2v2kTdv?3kT 2?p2132)e2kTmp2dp （3）利用动量概率分布w(p)dp?4?(2?kTm

?p2??112121?233242kTm?()epdp??p?p?pw(p)dp?kT m2?kTm?02m2m2m?021

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36．计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算 1，温度为1000K的平衡辐射总光子的数密度； 2，温度为3K的宇宙背景辐射中的光子的数密度。

答案：（习题8-7）光子属于极端相对论粒子，由习题6-4的结果，光子在体积V内，在?到??d?的能量范围内的量子态数为

D(?)d??8?V2(ch)3?d?， 光子在体积V内，在?到??d?的频率范围内的量子态数为

D(?)d??V?2c3?2d? 温度为T时平均光子数为

N(?,T)d??D(?)e??kT?1d?

??总光子数为N(T)?V?2c3??2?，引入变量x???kT，上式化成

0e??kT?1d??N(T)?VkT2c3(?)3??x2ex?1dx?2.404k330?2c3?3VT， 或

k3n(T)?2.404?2c3?3T3

在1000k下，有

n?2?1016m?3

在3k下，有

n?5.5?108m?3

37．试根据普朗克公式求平衡辐射内密度按波长的分布：

u(?,T)d??8?hc1?5ehc?kT?1d?

并据此证明，使辐射内能密度取极大值的波长?m满足方程：x?hc/?mkT

5e?x?x?5

这个方程的数值解为x=4.9651。因此，

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?mT?hc

4.9651k?m随温度增加向短波方向移动。

答案：（习题

8-8）利用??2?c?，有

d??2?c?2d?，代入

1??3u(?,T)d??23??kTd?，有

?ce?1u(?,T)d??8?hc1ehc?kT?5?1d?

引入变量x?hc?kT，使u(?,T)取极大的波长?m由下式确定

dx55x4(ex?1)?x5ex?x令(x)?0??0?5?5e?x x2dxe?1(e?1)解最后的超越方程，两条曲线相交点在x?4.9651，得

?mT?

hc?2.898?10?3m?k

4.9651ky?xy?5?5e?xx4.96515

使辐射场的内能密度取极大值的?mT为定值，这时?m与温度成反比，称为维恩位移定律。

38．按波长分布太阳辐射能的极大值在?m?480nm 处，假设太阳是黑体，求太阳的表面温度。

?3答案：（习题8-9）由上题所得?mT?2.898?10m?k，假设太阳是黑体，太阳表面温度

近似为

2.898?10?3T?K?6000K ?9480?10

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39．试根据热力学公式S?CV?UC?()V，及光子气体的热容量求光子气体的熵。 dTV?T?T

（习题8-10）8.4.10)给出光子气体的内能为

U?热容量

?2k4V15c3?4T 3?U4?2k4V3T CV?()V??T15c3?3根据热力学均匀系统熵的积分表达式

S??[CV?pdT?()VdT]?S0 T?T选择等容路径由(0,V)到(T,V)，即有

4?2k4VS?15c3?3其中已取S0?0。 40．

?T04?2k4V3TdT?T 3345c?2（习题8-13）解：对T?300K，n?6?10m代入

28?3Nh2n??()32?4.15?10?22nT?32?103??1

V2?mkT3为强简并气体。

对T?300K，n?6?10m代入

20?3Nh2n??()32?4.15?10?22nT?32?10?5??1

V2?mkT3为非简并气体。

41．银的导电电子数密度为5.9?1028/m3，试求0K时电子气体的费米能级，费米速率和

40

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